Considere funções f, g: R R com f limitada. Assinale a afirmação incorreta.
( ) Se lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0 f(x) g(x)=infty
( ) Se lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0 f(x)g(x)=0
( ) Se lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0[f(x)+g(x)]=infty
( ) Se lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0[g(x) f^2(x)+g^2(x) f(x)]=0
( ) Se g(x)<0, para todo x in R e lim x 0 g(x)=0, emtão lim x 0 |f(x)|+1g(x)=-infty

Passo 1

O enunciado diz que temos funções f e g de R em R com f limitada (ou seja, existe M tal que |f(x)| ≤ M para todo x) e que limₓ→0 g(x) = ∞. Precisamos achar qual das cinco afirmações é inconsistente com esses dados.

Passo 2

Analisando cada afirmação:
  1. Afirma que limₓ→0 f(x)·g(x) = ∞. Mas f(x) está apenas limitada em módulo, não tem sinal fixo nem limite próprio. Por exemplo, se f(x)=sin(x) e g(x)=1/x para x≠0 (e g(0) qualquer), então g(x)→∞ mas f(x)·g(x)=sin(x)/x→1, não ∞. Logo essa afirmação é falsa.

Passo 3

  1. Diz que limₓ→0 f(x)/g(x) = 0. Como |f(x)| ≤ M e g(x)→∞, temos |f(x)/g(x)| ≤ M/g(x)→0. Portanto f(x)/g(x)→0. Verdadeira.

Passo 4

  1. Diz que limₓ→0 [f(x)+g(x)] = ∞. Como g(x)→∞ e f(x) é limitado, f(x)+g(x) também →∞. Verdadeira.

Passo 5

  1. Diz que limₓ→0 [g(x)·f²(x) + g²(x)·f(x)] = 0. Usando |f(x)| ≤ M, cada termo satisfaz |g·f²| ≤ M²·g→∞ e |g²·f| ≤ M·g²→∞, de modo que a soma diverge em módulo, não tende a 0. Essa afirmação é falsa.

Passo 6

  1. Se g(x)<0 para todo x e g(x)→0, então (|f(x)|+1)/g(x) tende a –∞, pois o numerador é sempre ≥1 e o denominador é negativo e →0. Verdadeira.

Resposta

A afirmação incorreta é a quarta.

Exercícios relacionados