Considere funções
com
limitada. Assinale a afirmação incorreta.
( ) Se
, então
( ) Se
, então
( ) Se
, então
( ) Se
, então
( ) Se
, para todo
e
, emtão
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado trata de limites que envolvem uma função que diverge para +∞ e outra função arbitrariamente limitada. Vamos usar o fato de que, se g é limitada, existe M>0 tal que |g(x)|≤M perto de 0.
Relembrando: quando f(x)→+∞ e g(x) é limitada (|g(x)|≤M), então f(x)+g(x)→+∞, pois o termo divergente domina o termo limitado.
Relembrando: quando f(x)→+∞ e g(x) é limitada (|g(x)|≤M), então f(x)+g(x)→+∞, pois o termo divergente domina o termo limitado.
Passo 2
Analisando a afirmação “Se lim_{x→0}f(x)=+∞, então lim_{x→0}[g(x)f2(x)+g2(x)f(x)]=0”: note que
em módulo temos |g(x)f^2(x)|≤M f^2(x)→+∞ e |g2(x)f(x)|≤M2 f(x)→+∞. Portanto a soma g(x)f2(x)+g2(x)f(x) também diverge para +∞, não para 0.
em módulo temos |g(x)f^2(x)|≤M f^2(x)→+∞ e |g2(x)f(x)|≤M2 f(x)→+∞. Portanto a soma g(x)f2(x)+g2(x)f(x) também diverge para +∞, não para 0.
Passo 3
Assim, a afirmação que diz que esse limite vale 0 é incorreta, pois ambas parcelas crescem sem limite.
Resposta
A afirmação incorreta é: “Se lim_{x→0}f(x)=∞, então lim_{x→0}[g(x)f2(x)+g2(x)f(x)]=0.”