Considere funções f, g: R R com g limitada. Assinale a afirmação incorreta.
( ) Se lim x 0 f(x)=infty, então lim x 0 f(x) g(x)=infty
( ) Se lim x 0 f(x)=infty, então lim x 0 f(x)g(x)=0
( ) Se lim x 0 f(x)=infty, então lim x 0[f(x)+g(x)]=infty
( ) Se lim x 0 f(x)=infty, então lim x 0[g(x) f^2(x)+g^2(x) f(x)]=0
( ) Se f(x)<0, para todo x in R e lim x 0 f(x)=0, emtão lim x 0 |g(x)|+1f(x)=-infty

Passo 1

O enunciado trata de limites que envolvem uma função que diverge para +∞ e outra função arbitrariamente limitada. Vamos usar o fato de que, se g é limitada, existe M>0 tal que |g(x)|≤M perto de 0.
Relembrando: quando f(x)→+∞ e g(x) é limitada (|g(x)|≤M), então f(x)+g(x)→+∞, pois o termo divergente domina o termo limitado.

Passo 2

Analisando a afirmação “Se lim_{x→0}f(x)=+∞, então lim_{x→0}[g(x)f2(x)+g2(x)f(x)]=0”: note que
em módulo temos |g(x)f^2(x)|≤M f^2(x)→+∞ e |g2(x)f(x)|≤M2 f(x)→+∞. Portanto a soma g(x)f2(x)+g2(x)f(x) também diverge para +∞, não para 0.

Passo 3

Assim, a afirmação que diz que esse limite vale 0 é incorreta, pois ambas parcelas crescem sem limite.

Resposta

A afirmação incorreta é: “Se lim_{x→0}f(x)=∞, então lim_{x→0}[g(x)f2(x)+g2(x)f(x)]=0.”

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