Estude a variação das seguintes funções reais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a variação da função real $ g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x $. Isso significa que vamos descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como a função muda quando $ x $ muda. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está aumentando nesse intervalo. Se for negativa, está diminuindo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ g(x) $. A derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $ e a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Para facilitar a análise, vamos fatorar $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Então, igualamos $ g’(x) = 0 $:
Como $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ é diferente de zero, podemos simplificar:
Isso dá:
Passo 6
Vamos resolver $ \cos x = \sin x $. Dividindo ambos os lados por $ \cos x $ (onde $ \cos x \neq 0 $):
Então:
Isso acontece quando:
Passo 7
Agora, vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo usando a derivada.
- Se $ g’(x) > 0 $, a função está aumentando.
- Se $ g’(x) < 0 $, a função está diminuindo.
Vamos analisar o sinal de $ g’(x) $ nos intervalos determinados pelos pontos críticos $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $.
Passo 8
Escolhemos intervalos entre os pontos críticos para testar o sinal da derivada.
Por exemplo, para $ k = 0 $:
- Intervalo 1: $ x < \frac{\pi}{4} $
- Intervalo 2: $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $
- Intervalo 3: $ x > \frac{5\pi}{4} $
Vamos testar cada intervalo:
-
Intervalo 1 ($ x < \frac{\pi}{4} $):
- Escolha $ x = 0 $:
Então, $ g(x) $ está aumentando.
- Escolha $ x = 0 $:
-
Intervalo 2 ($ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $):
- Escolha $ x = \frac{\pi}{2} $:
Então, $ g(x) $ está diminuindo.
- Escolha $ x = \frac{\pi}{2} $:
-
Intervalo 3 ($ x > \frac{5\pi}{4} $):
- Escolha $ x = \frac{3\pi}{2} $:
Então, $ g(x) $ está aumentando.
- Escolha $ x = \frac{3\pi}{2} $:
Resposta
A função $ g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x $ está aumentando nos intervalos $ x < \frac{\pi}{4} + k\pi $ e $ x > \frac{5\pi}{4} + k\pi $, e está diminuindo no intervalo $ \frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro.