Estude a variação das seguintes funções reais:
g(x)=raiz22 cdot cos x+raiz22 cdot sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a variação da função real $ g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x $. Isso significa que vamos descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como a função muda quando $ x $ muda. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está aumentando nesse intervalo. Se for negativa, está diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ g(x) $. A derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $ e a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $. Aplicando isso:
g(x)
Simplificando:
cos x

Passo 4

Para facilitar a análise, vamos fatorar $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
raiz22

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Então, igualamos $ g’(x) = 0 $:
g'(x) = 0
Como $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ é diferente de zero, podemos simplificar:
raiz22 (-sin x + cos x) = 0
Isso dá:
raiz22

Passo 6

Vamos resolver $ \cos x = \sin x $. Dividindo ambos os lados por $ \cos x $ (onde $ \cos x \neq 0 $):
cos x = sin x
Então:
cos x
Isso acontece quando:
cos x neq 0

Passo 7

Agora, vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo usando a derivada.
  • Se $ g’(x) > 0 $, a função está aumentando.
  • Se $ g’(x) < 0 $, a função está diminuindo.
Vamos analisar o sinal de $ g’(x) $ nos intervalos determinados pelos pontos críticos $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $.

Passo 8

Escolhemos intervalos entre os pontos críticos para testar o sinal da derivada.
Por exemplo, para $ k = 0 $:
  • Intervalo 1: $ x < \frac{\pi}{4} $
  • Intervalo 2: $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $
  • Intervalo 3: $ x > \frac{5\pi}{4} $
Vamos testar cada intervalo:
  1. Intervalo 1 ($ x < \frac{\pi}{4} $):
    • Escolha $ x = 0 $: k = 0 Então, $ g(x) $ está aumentando.
  2. Intervalo 2 ($ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $):
    • Escolha $ x = \frac{\pi}{2} $: x < pi4 Então, $ g(x) $ está diminuindo.
  3. Intervalo 3 ($ x > \frac{5\pi}{4} $):
    • Escolha $ x = \frac{3\pi}{2} $: pi4 < x < 5pi4 Então, $ g(x) $ está aumentando.

Resposta

A função $ g(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x $ está aumentando nos intervalos $ x < \frac{\pi}{4} + k\pi $ e $ x > \frac{5\pi}{4} + k\pi $, e está diminuindo no intervalo $ \frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro.

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