Seja f: R R tal que x sin (x)+2 <= f(x) <= x^2+2, para todo x in R. Considere as seguintes afirmações:
(I) f(0)=2.
(III) lim x 0 f(x)=f(0).
(II) lim x 0 f(x)-2x^2=1.
(IV) lim x 0 f(x)-f(0)x-0=1
São verdadeiras as seguintes afirmações:
( ) todas.
( ) somente (I) e (IV).
( ) somente (I), (II) e (III).
( ) somente (I) e (III).
( ) somente (I), (III) e (IV).
( ) nenhuma

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f: ℝ→ℝ satisfazendo x⋅sin(x)+2 ≤ f(x) ≤ x²+2, e nos pede para analisar as afirmações sobre valores e limites em x→0 usando propriedades de desigualdades e teorema do sanduíche.

Passo 2

Para verificar (I), substituímos x=0 nas desigualdades: 0⋅sin(0)+2=2 ≤ f(0) ≤ 0²+2=2. Logo f(0)=2, ou seja, (I) é verdadeira.

Passo 3

Para verificar (III), observamos que ambas as funções x⋅sin(x)+2 e x²+2 convergem para 2 quando x→0. Pelo teorema do sanduíche, limₓ→0 f(x)=2, que é igual a f(0). Portanto, (III) é verdadeira.

Passo 4

Para verificar (II), escrevemos
f(x)-2x² ²
e usamos as desigualdades:
xsin(x)x² = sin(x)x <= f(x)-2x² <= x²x² = 1 ²²²²
Como limₓ→0 (sin(x)/x)=1, pela regra do sanduíche segue limₓ→0 (f(x)-2)/x²=1. Logo, (II) é verdadeira.

Passo 5

Para verificar (IV), escrevemos
f(x)-f(0)x-0 = f(x)-2x
e usamos as desigualdades:
xsin(x)x = sin(x) <= f(x)-2x <= x²x = x ²
Como limₓ→0 sin(x)=0 e limₓ→0 x=0, pelo sanduíche limₓ→0 (f(x)-2)/x=0≠1. Assim, (IV) é falsa.

Passo 6

Das quatro afirmações, apenas (I), (II) e (III) são verdadeiras.

Resposta

somente (I), (II) e (III)

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