Seja
tal que
, para todo
. Considere as seguintes afirmações:
(I)
.
(III)
.
(II)
.
(IV)
São verdadeiras as seguintes afirmações:
( ) todas.
( ) somente (I) e (IV).
( ) somente (I), (II) e (III).
( ) somente (I) e (III).
( ) somente (I), (III) e (IV).
( ) nenhuma
(I)
(III)
(II)
(IV)
São verdadeiras as seguintes afirmações:
( ) todas.
( ) somente (I) e (IV).
( ) somente (I), (II) e (III).
( ) somente (I) e (III).
( ) somente (I), (III) e (IV).
( ) nenhuma
Passo 1
O enunciado diz que existe uma função f: ℝ→ℝ satisfazendo x⋅sin(x)+2 ≤ f(x) ≤ x²+2, e nos pede para analisar as afirmações sobre valores e limites em x→0 usando propriedades de desigualdades e teorema do sanduíche.
Passo 2
Para verificar (I), substituímos x=0 nas desigualdades: 0⋅sin(0)+2=2 ≤ f(0) ≤ 0²+2=2. Logo f(0)=2, ou seja, (I) é verdadeira.
Passo 3
Para verificar (III), observamos que ambas as funções x⋅sin(x)+2 e x²+2 convergem para 2 quando x→0. Pelo teorema do sanduíche, limₓ→0 f(x)=2, que é igual a f(0). Portanto, (III) é verdadeira.
Passo 4
Para verificar (II), escrevemos
e usamos as desigualdades:
Como limₓ→0 (sin(x)/x)=1, pela regra do sanduíche segue limₓ→0 (f(x)-2)/x²=1. Logo, (II) é verdadeira.
Passo 5
Para verificar (IV), escrevemos
e usamos as desigualdades:
Como limₓ→0 sin(x)=0 e limₓ→0 x=0, pelo sanduíche limₓ→0 (f(x)-2)/x=0≠1. Assim, (IV) é falsa.
Passo 6
Das quatro afirmações, apenas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
Resposta
somente (I), (II) e (III)