Considere as funções de onda espaciais dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia , momento angular e momento magnético . Estas funções podem ser escritas como
A funções radiais são definidas como
onde é raio de Bohr e os polinômios de Laguerre. As funções são os harmônicos esféricos.
Calcule o valor médio da variável radial , denotado por , para os diferentes estados quânticos dos níveis e da energia. Compare seu resultado com os raios das órbitas circulares dos elétrons obtidos atráves do modelo de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A ideia é calcular o valor médio da coordenada radial
\langle r\rangle = \int \psi^*(r,\theta,\phi),r,\psi(r,\theta,\phi),d\tau
para os estados de hidrogênio com n=1 e n=2.
Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente de “expectation values” em coordenadas esféricas.
O que a gente vai usar:
A separação radial/angular das funções de onda, .
A definição de valor médio em QM.
Os polinômios de Laguerre e a normalização dos .
O modelo de Bohr para compararmos o resultado.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição do valor médio radial:
Como os harmônicos esféricos estão normalizados, lang<= rrang<= =integral0^infty r^3,l|Rnl(r)r|^2,dr .
Então sobra só a parte radial:
Passo 3
Vamos ver o caso mais simples, R10(r)=2,a0^-3/2,e^-r/a0 , |R10(r)|^2 =4,a0^-3,e^-2r/a0 .
A função radial é
Para resolver esse integral, usamos a fórmula .
Aqui e , então
Passo 4
Para boxed lang<= rrang<=n l =a02,l[3n^2 - l(l+1)r] existem dois valores de : 0 (estado 2s) e 1 (estado 2p).
Em vez de refazer todo mundo, a gente usa o resultado geral (que se prova com Laguerre):
Então:
Para :
Para :
Passo 5
No modelo de Bohr, o raio da órbita circular do elétron é
rn^rm Bohr=n^2,a0
Logo:
Para , .
Para , .
Comparando:
: vs .
(2s): vs .
(2p): vs .
Resposta
No modelo de Bohr ficava e . As médias quânticas saem maiores porque levam em conta a probabilidade de o elétron aparecer em distâncias maiores.