Considere as funções de onda espaciais psin l m(r, theta, phi) dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia n, momento angular l e momento magnético m. Estas funções podem ser escritas como
psin l m(r, theta, phi)=Rn l(r) Yl m(theta, phi)
A funções radiais Rn l(r) são definidas como
Rn l(r)=An l r^l e^-ra0 Ln l(r / a0),
onde a0 é raio de Bohr e Ln l os polinômios de Laguerre. As funções Yl m(theta, phi) são os harmônicos esféricos.
Calcule o valor médio da variável radial r, denotado por lang<= rrang<=, para os diferentes estados quânticos dos níveis n=1 e n=2 da energia. Compare seu resultado com os raios das órbitas circulares dos elétrons obtidos atráves do modelo de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A ideia é calcular o valor médio da coordenada radial
\langle r\rangle = \int \psi^*(r,\theta,\phi),r,\psi(r,\theta,\phi),d\tau
para os estados de hidrogênio com n=1 e n=2.
Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente de “expectation values” em coordenadas esféricas.
O que a gente vai usar:
  • A separação radial/angular das funções de onda, .
  • A definição de valor médio em QM.
  • Os polinômios de Laguerre e a normalização dos .
  • O modelo de Bohr para compararmos o resultado.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição do valor médio radial:
lang<= rrang<= =integral psi^*,r,psi,dtau =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^infty l|Rnl(r)r|^2,Ylm^*Ylm,r, r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Como os harmônicos esféricos estão normalizados,
lang<= rrang<= =integral0^infty r^3,l|Rnl(r)r|^2,dr .
Então sobra só a parte radial:

Passo 3

Vamos ver o caso mais simples, R10(r)=2,a0^-3/2,e^-r/a0 , |R10(r)|^2 =4,a0^-3,e^-2r/a0 .
A função radial é
lang<= rrang<=1,0 =integral0^infty r^3, 4,a0^-3,e^-2r/a0,dr
Então
lang<= rrang<=1,0 =4,a0^-3times3!(2/a0)^4 =4,a0^-3times616/a0^4 =24,a0^416,a0^3 =32,a0
Substituindo em :
Para resolver esse integral, usamos a fórmula
.
Aqui e , então

Passo 4

Para boxed lang<= rrang<=n l =a02,l[3n^2 - l(l+1)r] existem dois valores de : 0 (estado 2s) e 1 (estado 2p).
Em vez de refazer todo mundo, a gente usa o resultado geral (que se prova com Laguerre):
Então:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

No modelo de Bohr, o raio da órbita circular do elétron é
rn^rm Bohr=n^2,a0
Logo:
  • Para , .
  • Para , .
Comparando:
  • : vs .
  • (2s): vs .
  • (2p): vs .

Resposta


No modelo de Bohr ficava e . As médias quânticas saem maiores porque levam em conta a probabilidade de o elétron aparecer em distâncias maiores.

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