Considere as funções de onda espaciais
dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia
, momento angular
e momento magnético
. Estas funções podem ser escritas como
A funções radiais
são definidas como
onde
é raio de Bohr e
os polinômios de Laguerre. As funções
são os harmônicos esféricos.
Escreva explicitamente as funcões de onda normalizadas para os níveis de energia
e
. Mostre explicitamente que os autovalores de energia destas funções de onda são as energias
e
do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Escreva explicitamente as funcões de onda normalizadas para os níveis de energia
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra escrever na lata as funções de onda normalizadas do átomo de hidrogênio pros níveis de energia
e
, e em seguida mostrar que ao aplicar o Hamiltoniano nelas a gente encontra exatamente as energias de Bohr
e
. O conteúdo aqui é a solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano, usando separação de variáveis em coordenadas esféricas. Precisamos:
- As partes radial
e angular . - Os fatores de normalização e os polinômios de Laguerre.
- A fórmula geral do autovalor de energia
Passo 2
Função de onda para
(estado 1s):
-
, . - Polinômio de Laguerre reduz a
. - O raio de Bohr é
.
A parte radial fica
onde o fator de normalização
sai impondo
.
Isso dá
Isso dá
O harmônico esférico é
Então a função total é
Passo 3
Funções de onda para
. Temos dois casos de
:
-
Estado 2s (
): -
.
com
.
Logo -
-
Estados 2p (
): -
.
com
.
E os harmônicos esféricossão Aí -
Passo 4
Agora, para mostrar que essas funções dão autovalores de energia
e
, basta lembrar que a solução separada da equação de Schrödinger pra esse potencial já nos dá
Então, ao aplicar o Hamiltoniano
nas funções ou em qualquer
, a equação
nas funções
vale exatamente com
Isso mostra na prática que os autovalores coincidem com os da fórmula de Bohr.
Resposta
As funções de onda normalizadas são:
e inserindo-as em
obtemos
coincidindo com o modelo de Bohr.