Considere as funções de onda espaciais psin l m(r, theta, phi) dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia n, momento angular l e momento magnético m. Estas funções podem ser escritas como
psin l m(r, theta, phi)=Rn l(r) Yl m(theta, phi)
A funções radiais Rn l(r) são definidas como
Rn l(r)=An l r^l e^-ra0 Ln l(r / a0),
onde a0 é raio de Bohr e Ln l os polinômios de Laguerre. As funções Yl m(theta, phi) são os harmônicos esféricos.
Escreva explicitamente as funcões de onda normalizadas para os níveis de energia n=1 e n=2. Mostre explicitamente que os autovalores de energia destas funções de onda são as energias E1 e E2 do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra escrever na lata as funções de onda normalizadas do átomo de hidrogênio pros níveis de energia En = -m e^42(4pivarepsilon0)^2hbar^2,1n^2, e , e em seguida mostrar que ao aplicar o Hamiltoniano nelas a gente encontra exatamente as energias de Bohr e . O conteúdo aqui é a solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano, usando separação de variáveis em coordenadas esféricas. Precisamos:
  1. As partes radial e angular .
  2. Os fatores de normalização e os polinômios de Laguerre.
  3. A fórmula geral do autovalor de energia

Passo 2

Função de onda para R10(r) = A10,r^0,e^-r/a0 = A10,e^-r/a0, (estado 1s):
  • A10 = 2,a0^-3/2, , Y00(theta,phi) = 1raiz4pi .
  • Polinômio de Laguerre reduz a psi100(r,theta,phi) = R10(r),Y00(theta,phi) = 2a0^3/2,e^-r/a0;1raiz4pi = 1raizpi,a0^3,e^-r/a0 .
  • O raio de Bohr é .
A parte radial fica
onde o fator de normalização sai impondo
.
Isso dá
O harmônico esférico é
Então a função total é

Passo 3

Funções de onda para R20(r) = A20,r^0,e^-r/(2a0),(2 - r/a0), . Temos dois casos de psi200 = R20(r),Y00 = 12raiz2,a0^3/2,l(2 - tfracra0r),e^-r/(2a0), 1raiz4pi :
  1. Estado 2s ( R21(r) = A21,r^1,e^-r/(2a0) = A21,r,e^-r/(2a0), ):
    • Y10 = raiz34picostheta, Y1,pm1 = mpraiz38pi,sintheta,e^pm iphi .
    psi21m(r,theta,phi) = R21(r),Y1m(theta,phi) = 12raiz6,a0^5/2,r,e^-r/(2a0);Y1m(theta,phi)
    com
    .
    Logo
  2. Estados 2p ( ):
    • .
    com
    .
    E os harmônicos esféricos são

Passo 4

Agora, para mostrar que essas funções dão autovalores de energia En = -m e^42(4pivarepsilon0)^2hbar^2,1n^2equiv -13,6 eVn^2 e H,psinlm = En,psinlm , basta lembrar que a solução separada da equação de Schrödinger pra esse potencial já nos dá
E1 = -13,6 eV, E2 = -13,6 eV2^2 = -3,40 eV
Então, ao aplicar o Hamiltoniano

nas funções ou em qualquer , a equação
vale exatamente com
Isso mostra na prática que os autovalores coincidem com os da fórmula de Bohr.

Resposta

As funções de onda normalizadas são:
boxed psi100 = 1raizpi,a0^3,e^-r/a0, boxed psi200 = 12raiz2pi,a0^3,(2 - r/a0),e^-r/(2a0),
boxed psi21m = 12raiz6,a0^5/2,r,e^-r/(2a0),Y1m(theta,phi),
e inserindo-as em boxedE1 = -13,6 eV, E2 = -3,40 eV, obtemos
coincidindo com o modelo de Bohr.

Exercícios relacionados