Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos da seguinte função:
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x)=ln(x^2+1) e queremos usar o teste da derivada segunda para encontrar extremos relativos; vamos precisar calcular f’(x), achar pontos críticos e depois usar f’’(x) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia e quociente:
f'(x)=ddxln(x^2+1)=1x^2+1cdot 2x=2xx^2+1

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos f’(x) a zero:
2xx^2+1=0implies 2x=0implies x=0

Passo 4

Agora obtemos a segunda derivada. Derivando f’(x):
f''(x)=ddxl(2xx^2+1r)=2(x^2+1)-2xcdot 2x(x^2+1)^2=2-2x^2(x^2+1)^2=2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Aplicamos o teste da segunda derivada em x=0:
f''(0)=2(1-0)(0^2+1)^2=2>0,o que indica mínimo relativo em x=0. Como não há outro ponto crítico, não existem máximos relativos.
Calculamos ainda o valor da função no extremo: f(0)=ln(0^2+1)=ln(1)=0.

Resposta

Há um único mínimo relativo em x=0, cujo valor é f(0)=0. Não há máximos relativos.

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