Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos da seguinte função:
Passo 1
Estamos lidando com a função f(x)=ln(x^2+1) e queremos usar o teste da derivada segunda para encontrar extremos relativos; vamos precisar calcular f’(x), achar pontos críticos e depois usar f’’(x) para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia e quociente:
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, igualamos f’(x) a zero:
Passo 4
Agora obtemos a segunda derivada. Derivando f’(x):
Passo 5
Aplicamos o teste da segunda derivada em x=0:
Calculamos ainda o valor da função no extremo: f(0)=ln(0^2+1)=ln(1)=0.
Resposta
Há um único mínimo relativo em x=0, cujo valor é f(0)=0. Não há máximos relativos.