Determine se as integrais divergem ou convergem.
Passo 1
A gente quer estudar a integral imprópria de 0 a 1 de
. O conteúdo envolve integrais impróprias (já que em
o integrando é singular) e uma técnica de integração (por partes).
Passo 2
Reescrevemos a integral como um limite para lidar com o ponto singular em 0:
Passo 3
Para calcular
, usamos integração por partes. Escolhemos
Então
Passo 4
Aplicando a fórmula de partes:
$$\int_{a}^{1}\ln x,x^{-1/2},dx = \bigl[2x^{1/2}\ln x\bigr]{a}^{1} - \int{a}{1}2x{1/2}\cdot\frac{1}{x},dx.
$$
Passo 5
Calculamos cada termo:
- O termo de fronteira é
de a . Em dá 0; em temos , que tende a 0 quando . - A integral remanescente é
$$2\int_{a}{1}x{-1/2},dx = 2\bigl[2x{1/2}\bigr]_{a}{1} = 4 - 4a^{1/2}.
$$
Passo 6
Fazendo
, o termo
vai para zero, sobrando
. Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e vale
.
Resposta
A integral converge e seu valor é -4.