Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral0^1 ln xraizx d x

Passo 1

A gente quer estudar a integral imprópria de 0 a 1 de ln xraiz x,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias (já que em x=0 o integrando é singular) e uma técnica de integração (por partes).

Passo 2

Reescrevemos a integral como um limite para lidar com o ponto singular em 0:
integral0^1ln xraiz x,dx = limato0^+integrala^1ln xraiz x,dx

Passo 3

Para calcular integrala^1ln x,x^-1/2,dx, usamos integração por partes. Escolhemos
u = ln x, dv = x^-1/2,dx
Então
du = dxx, v = 2x^1/2

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
$$\int_{a}^{1}\ln x,x^{-1/2},dx = \bigl[2x^{1/2}\ln x\bigr]{a}^{1} - \int{a}{1}2x{1/2}\cdot\frac{1}{x},dx.
$$

Passo 5

Calculamos cada termo:
  • O termo de fronteira é 2x^1/2ln x de x=a a x=1. Em x=1 dá 0; em x=a temos 2a^1/2ln a, que tende a 0 quando ato0^+.
  • A integral remanescente é
$$2\int_{a}{1}x{-1/2},dx = 2\bigl[2x{1/2}\bigr]_{a}{1} = 4 - 4a^{1/2}.
2integrala^1x^-1/2,dx = 2l[2x^1/2r]a^1 = 4 - 4a^1/2 \int_{a}^{1}\ln x,x^{-1/2},dx = 0 - (4 - 4a^{1/2}) = -4 + 4a^{1/2}.
$$

Passo 6

Fazendo ato0^+, o termo 4a^1/2 vai para zero, sobrando -4. Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e vale -4.

Resposta

A integral converge e seu valor é -4.

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