Considere as funções f(x)=x^2+3 e g(x)=x+3x-2 para as questões de 1 a 5 .
Determine as inversas de f e g.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=x^2+3 e
g(x)=dfracx+3x-2
e pede as inversas. Para isso vamos usar o procedimento padrão: escrever y=f(x), trocar x por y e y por x, e resolver para y, sempre atento às restrições de domínio que garantem bijetividade.

Passo 2

Analisando f(x)=x^2+3, vemos que em R ela não é injetora (pois x e -x dão a mesma saída). Para ter inversa, restringimos o domínio a um dos “ramos”:
Ramo 1: x>=0.
y = x^2 + 3
troca xrightarrow y: x = y^2 + 3
y^2 = x - 3
y = raizx-3
Nesse caso
f^-1(x)=raizx-3,
com domínio x>=3.
Ramo 2: x<=0.
Pela mesma conta, a inversa é
f^-1(x) = -raizx-3,
com domínio x>=3.

Passo 3

Para g(x)=dfracx+3x-2, ela já é bijetora em Rsetminus2. Escrevemos
y = x+3x-2
troca xrightarrow y: x = y+3y-2
x(y-2) = y + 3
xy - 2x = y + 3
y(x-1) = 2x + 3
y = 2x + 3x - 1
Logo
g^-1(x) = 2x+3,x-1,,
com domínio xneq1.

Resposta

f^-1(x)=raizx-3, para x>=3 (ou f^-1(x)=-raizx-3, para x>=3, se escolhermos o ramo x<=0).
g^-1(x)=dfrac2x+3x-1, para xneq1.

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