Considere as funções f(x)=x^2+3 e g(x)=x+3x-2 para as questões de 1 a 5 .
Verifique algebricamente se f e g são funções injetoras.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^2+3, xinR,
g(x)=x+3x-2, xinRsetminus2,
e pede para verificar algebricamente se cada uma é injetora. Lembrando que uma função h é injetora se, sempre que
h(x1)=h(x2),
decorrermos logicamente que
x1=x2

Passo 2

Para f, suponha
f(x1)=f(x2)
Isso significa
x1^2+3 = x2^2+3
implies x1^2=x2^2
implies x1=pm x2
Da igualdade x1=pm x2 não decorre sempre x1=x2 (por exemplo, x1=1 e x2=-1 dão o mesmo valor de f). Logo f não é injetora.

Passo 3

Para g, suponha
g(x1)=g(x2)
Isso quer dizer
x1+3x1-2 ;=;x2+3x2-2

Passo 4

Fazendo produto cruzado:
(x1+3)(x2-2) = (x2+3)(x1-2)
Expandindo cada lado:
x1x2-2x1+3x2-6 = x1x2-2x2+3x1-6
Cancelando x1x2 e -6 em ambos os lados e passando termos:
-2x1+3x2 = -2x2+3x1
implies -2x1-3x1 = -2x2-3x2
implies -5x1 = -5x2
implies x1=x2
Isso mostra que sempre que g(x1)=g(x2) temos x1=x2. Portanto g é injetora.

Resposta

f não é injetora.
g é injetora.

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