Considere a equação diferencial:
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=x^3(x+2), x>0
(a) Sabendo que a função y1=x é uma solução da equação homogênea associada, aplique o método de redução de ordem para encontrar uma outra solução y2 que seja linearmente independente com y1.
(b) Use o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis,
x^2y'' - x(x+2)y' + (x+2)y = x^3(x+2), x>0
Vamos primeiro achar, por redução de ordem, uma segunda solução da homogênea associada a partir de y1=x, e em seguida usar variação de parâmetros para obter a solução geral da não homogênea.

Passo 2

Dividindo por x^2 (já que x>0) colocamos em forma padrão
y'' - x+2x,y' + x+2x^2,y = x(x+2)
Identificamos
P(x) = -1 - 2x, Q(x) = x+2x^2, R(x) = x(x+2)

Passo 3

Pela redução de ordem, a segunda solução é
y2 = y1integral e^-integral Py1^2,dx
Como
integral P,dx = integrall(-1 - tfrac2xr)dx = -x - 2ln x, e^-integral P = e^,x+2ln x = e^xx^2,
segue
y2 = xintegral e^xx^2x^2,dx = xintegral e^xdx = x,e^x

Passo 4

As soluções fundamentais da homogênea são y1=x e y2=x e^x. O Wronskiano vale
W = x & x e^x 1 & e^x+x e^x = x^2e^x
Pela variação de parâmetros, uma solução particular é
yp = -y1integral y2RW,dx + y2integral y1RW,dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
y1RW = xcdot x(x+2)x^2e^x = x+2e^x, integral y1RW,dx = integral (x+2)e^-xdx = -e^-x(x+3)
y2RW = x e^xcdot x(x+2)x^2e^x = x+2, integral y2RW,dx = integral (x+2)dx = tfracx^22+2x
Logo
yp = -,xl(tfracx^22+2xr) + x e^xl[-e^-x(x+3)r] = -x^32-3x^2-3x

Passo 6

A solução geral da não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y = C1x + C2x e^x ;-;x^32-3x^2-3x

Resposta

(a) y2(x)=x e^x
(b) y(x)=C1x + C2x e^x - tfracx^32 - 3x^2 - 3x

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