(a) Sabendo que a função é uma solução da equação homogênea associada, aplique o método de redução de ordem para encontrar uma outra solução que seja linearmente independente com .
(b) Use o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da equação não homogênea.
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis,
Vamos primeiro achar, por redução de ordem, uma segunda solução da homogênea associada a partir de , e em seguida usar variação de parâmetros para obter a solução geral da não homogênea.
Passo 2
Dividindo por (já que ) colocamos em forma padrão
Identificamos
Passo 3
Pela redução de ordem, a segunda solução é
Como
segue
Passo 4
As soluções fundamentais da homogênea são e . O Wronskiano vale
Pela variação de parâmetros, uma solução particular é
yp = -y1integral y2RW,dx + y2integral y1RW,dx
Passo 5
Calculamos as integrais:
y1RW = xcdot x(x+2)x^2e^x = x+2e^x, integral y1RW,dx = integral (x+2)e^-xdx = -e^-x(x+3)
y2RW = x e^xcdot x(x+2)x^2e^x = x+2, integral y2RW,dx = integral (x+2)dx = tfracx^22+2x
Logo
yp = -,xl(tfracx^22+2xr) + x e^xl[-e^-x(x+3)r] = -x^32-3x^2-3x
Passo 6
A solução geral da não homogênea é a soma da homogênea com a particular: