Considere as funções f e g, de variável real x, definidas, respectivamente, por
f(x)=e^x^2+a x+b e g(x)=ln (a x3 b)
em que a e b são números reais. Se f(-1)=1=f(-2), então pode-se afirmar sobre a função composta (g circ f)(x) que: (g circ f)(x) está definida apenas em x in R mid x>0.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=e^x^2+ax+b e g(x)=lnl(tfracax3br), pede para encontrar a e b de modo que f(-1)=1=f(-2) e então analisar o domínio de (gcirc f)(x). Vamos usar conceitos de equações exponenciais e domínio de logaritmo.

Passo 2

Para achar a e b), aplicamos as condições:
f(-1)=e^1 - a + b=1implies 1 - a + b=0implies b=a-1,
f(-2)=e^4 -2a + b=1implies 4 -2a + b=0implies b=2a-4
Igualando a-1=2a-4 resulta em a=3 e, substituindo, b=2.

Passo 3

Com a=3 e b=2, temos
f(x)=e^x^2+3x+2=e^(x+1)(x+2),
eu sabemos que uma exponencial é sempre positiva, ou seja, f(x)>0 para todo xinR.

Passo 4

O domínio de g exige que o argumento do ln seja positivo: para sua variável t valeria 3t/(3cdot2)>0 ou simplesmente t>0.

Passo 5

Para a composta (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) precisamos de f(x)>0. Como já vimos f(x)>0 para todo x, concluímos que (gcirc f)(x) está definida para todo xinR.

Passo 6

Logo, a afirmação de que (gcirc f)(x) está definida apenas em x>0 é falsa: na verdade o domínio é todo R.

Resposta

O domínio de (gcirc f) é R, não apenas x>0.

Exercícios relacionados