Considere as funções vetoriais \alpha(t)=\left(\sin \frac{t}{2}, \cos \frac{t}{2}, 2 t\right), 0 \leq t \leq 2 \pi e \gamma(t)=\left(t, t^{2} \sin \left(\frac{1}{t}\right)\right). Responda os itens abaixo, justificando sua resposta.
(a) (0,5) Encontre o subconjunto de \mathbb{R} onde \gamma está definida.
(b) (0,5) Faz sentido perguntarmos por \lim _{t \rightarrow 0} \gamma(t) ? Se sim, verifique se tal limite existe.
(c) (0,5) É \gamma contínua? É \gamma uma curva?
(d) (0,5) A função \alpha representa uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de \alpha em t=\pi / 4;
(e) (0,5) Obtenha o comprimento de arco de \alpha.
(f) (0,5) Mostre que a curva \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva \alpha.

Passo 1

O enunciado fornece duas funções vetoriais e pede várias coisas relacionadas a domínio, limite, continuidade, regularidade e reparametrização. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos.
Dados do enunciado:
\alpha(t)=\left(\sin \frac{t}{2},\;\cos \frac{t}{2},\;2t\right), com 0\le t\le 2\pi.
\gamma(t)=\left(t,\;t^{2}\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right).
Perguntas (cada uma vale 0,5):
(a) Encontre o subconjunto de \mathbb{R} onde \gamma está definida.
(b) Faz sentido perguntarmos por \lim_{t\to 0}\gamma(t)? Se sim, verifique se existe.
(c) \gamma é contínua? \gamma é uma curva? Justifique.
(d) A função \alpha representa uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de \alpha em t=\pi/4.
(e) Obtenha o comprimento de arco de \alpha (no intervalo dado).
(f) Mostre que \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva \alpha.

Passo 2

(a) Determinar o domínio de \gamma.
Observação direta dos componentes: o primeiro componente é t, definido para todo t\in\mathbb{R}. O segundo componente é t^{2}\sin\left(\frac{1}{t}\right). A função \sin\left(\frac{1}{t}\right) só está definida quando t\neq 0. Portanto \gamma só está definida para t\neq 0. Conclusão:
\text{o domínio de }\gamma\text{ é }\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.íé

Passo 3

(b) Faz sentido perguntar por \lim_{t\to 0}\gamma(t)? Sim: embora \gamma não esteja definida em t=0, podemos verificar se existe o limite das imagens quando t se aproxima de 0. Calculamos limite coordenada a coordenada.
Primeira coordenada: \lim_{t\to 0} t = 0.
Segunda coordenada: \lim_{t\to 0} t^{2}\sin\left(\frac{1}{t}\right). Aqui uso um teorema básico (descrito abaixo) que é muito útil:
Aula curta (ferramenta usada): se f(t) é limitada, isto é existe M com |f(t)|\le M para todos t próximos de 0, e g(t)\to 0, então g(t)f(t)\to 0. No nosso caso f(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right) é limitada por 1 e \;g(t)=t^{2}\to 0. Logo
\lim_{t\to 0} t^{2}\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0.
Portanto o limite em \mathbb{R}^{2} existe e é
\lim_{t\to 0}\gamma(t)=(0,0).

Passo 4

(c) Continuidadade de \gamma. Definição prática: uma aplicação vetorial é contínua num ponto se todas as coordenadas são contínuas ali. Para t\neq 0, cada coordenada de \gamma é composição de funções elementares contínuas (polinômio, seno, reciprocidade) portanto \gamma é contínua em todo ponto do domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Sobre ser “uma curva”: muitas definições exigem que uma curva seja uma aplicação contínua definida em um intervalo (um conjunto convexo do tipo [a,b] ou (a,b) etc.). O domínio de \gamma é \mathbb{R}\setminus\{0\}, que não é um único intervalo — é a união de dois intervalos (-\infty,0) e (0,\infty). Conclusões:
  • \gamma é contínua em todo t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Se adotarmos a definição estrita “curva = função contínua cujo domínio é um intervalo”, então a aplicação dada não é uma única curva global (ela é duas curvas separadas: uma para t<0 e outra para t>0).
    Obs.: se alguém definir curva apenas como imagem contínua de um conjunto qualquer, então pode aceitá-la; mas a resposta padrão que quero que você memorize para prova é: domínio não é um intervalo, então não é, estritamente, uma curva única — são duas curvas (uma em cada ramo).

Passo 5

(d) Regularidade (suavidade) de \alpha e vetor velocidade em t=\pi/4.
Primeiro, eu te lembro: uma curva \alpha(t) é suave (ou C^1) se \alpha'(t) existe e é contínua; é regular se \alpha'(t)\neq 0 para todo t do domínio. Vamos calcular a derivada coordenada a coordenada.
Cálculo da derivada:
\alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}\sin\frac{t}{2},\;\frac{d}{dt}\cos\frac{t}{2},\;\frac{d}{dt}(2t)\right).
Usando regra da cadeia: \frac{d}{dt}\sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2} e \frac{d}{dt}\cos\frac{t}{2}=-\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}. Assim
\alpha'(t)=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2},\;-\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2},\;2\right).
Verifiquemos se \alpha'(t) é o vetor nulo para algum t. Calculo da norma ao quadrado:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}\right)^{2}+2^{2} =\frac{1}{4}\left(\cos^{2}\frac{t}{2}+\sin^{2}\frac{t}{2}\right)+4 =\frac{1}{4}\cdot 1+4=\frac{17}{4}.
Logo \|\alpha'(t)\|=\sqrt{\tfrac{17}{4}}=\tfrac{\sqrt{17}}{2}>0 para todo t. Conclusão: \alpha é suave e regular (derivada contínua e não nula).
Vetor velocidade em t=\pi/4: substituímos t=\pi/4 em \alpha'(t):
\alpha'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8},\;-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8},\;2\right).
(Se quiseres aproximar numericamente, dá para calcular \cos\frac{\pi}{8} e \sin\frac{\pi}{8}, mas na prova é suficiente deixar em trigonometria exata desta forma.)

Passo 6

(e) Comprimento de arco de \alpha no intervalo 0\le t\le 2\pi.
Fórmula que usamos (aula rápida): o comprimento de arco de \alpha em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Já calculamos que \|\alpha'(t)\|=\tfrac{\sqrt{17}}{2} é constante. Então
L=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sqrt{17}}{2}\,dt=\frac{\sqrt{17}}{2}\cdot(2\pi-0)=\pi\sqrt{17}.

Passo 7

(f) Mostrar que \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e reparametrização por comprimento de arco.
Definição curta: uma parametrização por comprimento de arco significa que a função parâtrica s mede diretamente o comprimento e que \|\frac{d}{ds}\beta(s)\|=1 para o parâmetro s. Em termos de t, isso equivale a \|\alpha'(t)\|=1 para todo t se t já fosse o parâmetro de arco.
Como vimos, \|\alpha'(t)\|=\tfrac{\sqrt{17}}{2}\neq 1. Portanto \alpha não está parametrizada por comprimento de arco.
Agora vamos construir a reparametrização por comprimento de arco. Procedimento padrão:
  1. Definir a função comprimento acumulado a partir de t_{0}=0:
s(t)=\int_{0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du.
Como \|\alpha'(u)\|=\tfrac{\sqrt{17}}{2} constante, temos
s(t)=\frac{\sqrt{17}}{2}\,t.
  1. Inverter para obter t em função de s:
t(s)=\frac{2}{\sqrt{17}}\,s.
  1. Substituir em \alpha para obter a parametrização por comprimento de arco \beta(s)=\alpha(t(s)). Fazendo a substituição:
    o primeiro componente: \sin\frac{t}{2}=\sin\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{17}}s\right)=\sin\left(\frac{s}{\sqrt{17}}\right).
    o segundo componente: \cos\frac{t}{2}=\cos\left(\frac{s}{\sqrt{17}}\right).
    o terceiro componente: 2t=2\cdot\frac{2}{\sqrt{17}}s=\frac{4}{\sqrt{17}}s.
Portanto uma reparametrização por comprimento de arco é
\beta(s)=\left(\sin\frac{s}{\sqrt{17}},\;\cos\frac{s}{\sqrt{17}},\;\frac{4}{\sqrt{17}}s\right),
com s variando de s(0)=0 até s(2\pi)=\frac{\sqrt{17}}{2}\cdot 2\pi=\pi\sqrt{17}. Verificação rápida (útil em prova): calcular \beta'(s) e ver que sua norma é 1:
\beta'(s)=\left(\frac{1}{\sqrt{17}}\cos\frac{s}{\sqrt{17}},\;-\frac{1}{\sqrt{17}}\sin\frac{s}{\sqrt{17}},\;\frac{4}{\sqrt{17}}\right),
e
\|\beta'(s)\|^{2}=\frac{1}{17}\big(\cos^{2}\frac{s}{\sqrt{17}}+\sin^{2}\frac{s}{\sqrt{17}}\big)+\frac{16}{17}=\frac{1}{17}+\frac{16}{17}=1.
Logo \|\beta'(s)\|=1, como queríamos.

Resposta

(a) \mathbb{R}\setminus\{0\}.
(b) Sim. \displaystyle\lim_{t\to 0}\gamma(t)=(0,0).
(c) \gamma é contínua em todo t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Estritamente falando, \gamma não é uma única curva com domínio um intervalo (o domínio é (-\infty,0)\cup(0,\infty)), logo corresponde a duas curvas separadas para t<0 e t>0.
(d) \alpha é suave e regular, pois \alpha'(t)=\left(\tfrac{1}{2}\cos\frac{t}{2},-\tfrac{1}{2}\sin\frac{t}{2},2\right) com \|\alpha'(t)\|=\tfrac{\sqrt{17}}{2}>0. Vetor velocidade em t=\pi/4:
\displaystyle \alpha'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8},\;-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8},\;2\right).
(e) Comprimento de arco L=\pi\sqrt{17}.
(f) \alpha não está parametrizada por comprimento de arco porque \|\alpha'(t)\|=\tfrac{\sqrt{17}}{2}\neq 1. Uma reparametrização por comprimento de arco é
\displaystyle \beta(s)=\left(\sin\frac{s}{\sqrt{17}},\;\cos\frac{s}{\sqrt{17}},\;\frac{4}{\sqrt{17}}s\right),\;0\le s\le \pi\sqrt{17},
que satisfaz \|\beta'(s)\|=1.

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