Considere as funções vetoriais
e
. Responda os itens abaixo, justificando sua resposta.
(a)
Encontre o subconjunto de
onde
está definida.
(b)
Faz sentido perguntarmos por
? Se sim, verifique se tal limite existe.
(c)
É
contínua? É
uma curva?
(d)
A função
representa uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de
em
;
(e)
Obtenha o comprimento de arco de
.
(f)
Mostre que a curva
não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado fornece duas funções vetoriais e pede várias coisas relacionadas a domínio, limite, continuidade, regularidade e reparametrização. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos.
Dados do enunciado:
, com
.
.
Perguntas (cada uma vale
):
(a) Encontre o subconjunto de onde
está definida.
(b) Faz sentido perguntarmos por ? Se sim, verifique se existe.
(c) é contínua?
é uma curva? Justifique.
(d) A função representa uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de
em
.
(e) Obtenha o comprimento de arco de (no intervalo dado).
(f) Mostre que não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva
.
(a) Encontre o subconjunto de
(b) Faz sentido perguntarmos por
(c)
(d) A função
(e) Obtenha o comprimento de arco de
(f) Mostre que
Passo 2
(a) Determinar o domínio de
.
Observação direta dos componentes: o primeiro componente é , definido para todo
. O segundo componente é
. A função
só está definida quando
. Portanto
só está definida para
. Conclusão:
Observação direta dos componentes: o primeiro componente é
Passo 3
(b) Faz sentido perguntar por
? Sim: embora
não esteja definida em
, podemos verificar se existe o limite das imagens quando
se aproxima de
. Calculamos limite coordenada a coordenada.
Primeira coordenada:
.
Segunda coordenada:
. Aqui uso um teorema básico (descrito abaixo) que é muito útil:
Aula curta (ferramenta usada): se
é limitada, isto é existe
com
para todos
próximos de
, e
, então
. No nosso caso
é limitada por
e
. Logo
Portanto o limite em
existe e é
Passo 4
(c) Continuidadade de
. Definição prática: uma aplicação vetorial é contínua num ponto se todas as coordenadas são contínuas ali. Para
, cada coordenada de
é composição de funções elementares contínuas (polinômio, seno, reciprocidade) portanto
é contínua em todo ponto do domínio
.
Sobre ser “uma curva”: muitas definições exigem que uma curva seja uma aplicação contínua definida em um intervalo (um conjunto convexo do tipo
ou
etc.). O domínio de
é
, que não é um único intervalo — é a união de dois intervalos
e
. Conclusões:
-
é contínua em todo . - Se adotarmos a definição estrita “curva = função contínua cujo domínio é um intervalo”, então a aplicação dada não é uma única curva global (ela é duas curvas separadas: uma para
e outra para ).
Obs.: se alguém definir curva apenas como imagem contínua de um conjunto qualquer, então pode aceitá-la; mas a resposta padrão que quero que você memorize para prova é: domínio não é um intervalo, então não é, estritamente, uma curva única — são duas curvas (uma em cada ramo).
Passo 5
(d) Regularidade (suavidade) de
e vetor velocidade em
.
Primeiro, eu te lembro: uma curva
é suave (ou
) se
existe e é contínua; é regular se
para todo
do domínio. Vamos calcular a derivada coordenada a coordenada.
Cálculo da derivada:
Usando regra da cadeia:
e
. Assim
Verifiquemos se
é o vetor nulo para algum
. Calculo da norma ao quadrado:
Logo
para todo
. Conclusão:
é suave e regular (derivada contínua e não nula).
Vetor velocidade em
: substituímos
em
:
(Se quiseres aproximar numericamente, dá para calcular
e
, mas na prova é suficiente deixar em trigonometria exata desta forma.)
Passo 6
(e) Comprimento de arco de
no intervalo
.
Fórmula que usamos (aula rápida): o comprimento de arco de
em
é
Já calculamos que
é constante. Então
Passo 7
(f) Mostrar que
não está parametrizada por comprimento de arco e reparametrização por comprimento de arco.
Definição curta: uma parametrização por comprimento de arco significa que a função parâtrica
mede diretamente o comprimento e que
para o parâmetro
. Em termos de
, isso equivale a
para todo
se
já fosse o parâmetro de arco.
Como vimos,
. Portanto
não está parametrizada por comprimento de arco.
Agora vamos construir a reparametrização por comprimento de arco. Procedimento padrão:
- Definir a função comprimento acumulado a partir de
:
Como
constante, temos
- Inverter para obter
em função de :
- Substituir em
para obter a parametrização por comprimento de arco . Fazendo a substituição:
o primeiro componente:.
o segundo componente:.
o terceiro componente:.
Portanto uma reparametrização por comprimento de arco é
com
variando de
até
. Verificação rápida (útil em prova): calcular
e ver que sua norma é
:
e
Logo
, como queríamos.
Resposta
(a)
(b) Sim.
(c) é contínua em todo
. Estritamente falando,
não é uma única curva com domínio um intervalo (o domínio é
), logo corresponde a duas curvas separadas para
e
.
(d) é suave e regular, pois
com
. Vetor velocidade em
:
(e) Comprimento de arco
(f) não está parametrizada por comprimento de arco porque
. Uma reparametrização por comprimento de arco é
que satisfaz .
(b) Sim.
(c)
(d)
(e) Comprimento de arco
(f)
que satisfaz