Encontre uma parametrização para as seguintes curvas em \mathbb{R}^{3} : (0,5) A reta que passa pelos pontos A=(1,4,3) e B=(2,-2,1), orientada de A para B.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da reta em \mathbb{R}^{3} que passa pelos pontos A=(1,4,3) e B=(2,-2,1), com orientação de A para B.
Informações dadas:
A=(1,4,3),\qquad B=(2,-2,1).
O que se deseja: uma função vetorial (parametrização) que descreva essa reta, e que percorra a reta no sentido de A para B.
Passo 2
Vamos calcular o vetor direção da reta, que é o vetor que vai de A até B. Subtraímos coordenada a coordenada:
Vou explicar o que é uma parametrização de reta e por que usar \vec{v}. Uma parametrização padrão de uma reta usa uma ponto conhecido P da reta (aqui A) e um vetor direção \vec{v} não nulo. A parametrização é a função
\mathbf{r}(t)=P+t\vec{v},
onde t é o parâmetro. Intuição: você começa em P e, variando t, anda sobre a reta na direção de \vec{v}; se t=0 está em P, se t aumenta você segue na direção de \vec{v}.
Passo 4
Aplicando essa fórmula com P=A e \vec{v}=(1,-6,-2), obtemos a parametrização vetorial
\mathbf{r}(t)=(1,4,3)+t(1,-6,-2).
Explico cada termo: o primeiro vetor (1,4,3) fixa um ponto inicial; o segundo vetor é a direção e t escala esse deslocamento.
Passo 5
Escrevendo em coordenadas (forma componente) para ficar bem claro como usar na prova:
x(t)=1+t,\qquad y(t)=4-6t,\qquad z(t)=3-2t.
Aqui x(t),y(t),z(t) são as coordenadas do ponto da reta quando o parâmetro vale t.
Passo 6
Verificação da orientação (importante): para t=0 temos
\mathbf{r}(0)=(1,4,3)=A,
e para t=1 temos
\mathbf{r}(1)=(1,4,3)+(1,-6,-2)=(2,-2,1)=B.
Como ao aumentar t de 0 para 1 vamos de A para B, a parametrização tem a orientação pedida (de A para B).
Passo 7
Observações úteis para a prova (mastigadas):
O conjunto de todos os pontos da reta é obtido tomando t\in\mathbb{R}. Se você só quiser o segmento entre A e B, tome t\in[0,1].
Qualquer múltiplo não nulo de \vec{v} também serve como vetor direção; por exemplo 2\vec{v} dá uma parametrização equivalente (apenas reparametrizada). Se usar um escalar negativo a orientação inverte.