Tendo em conta as funções
e
da questão anterior.
Encontre
. O número real
é um valor regular para
? Encontre um vetor normal à
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) encontrar
; (2) decidir se o número real
é um valor regular para
; (3) encontrar um vetor normal a
no ponto
, sabendo que
.
As informações fornecidas no enunciado que recebi aqui são:
e a afirmação de que
.
Porém, o enunciado começa com “Tendo em conta as funções e
da questão anterior” — e a definição explícita de
(a fórmula ou expressão de
) não foi fornecida aqui. Sem a expressão de
não é possível calcular as derivadas parciais nem a
numérica.
Porém, o enunciado começa com “Tendo em conta as funções
Vou então: (i) explicar passo a passo como você deve proceder para obter cada item na prova (aulas rápidas e exemplos), e (ii) no final dizer claramente o que é possível afirmar aqui com as informações que você deu.
Passo 2
O que é
e como se calcula (aula prática, passo a passo).
Definição operacional:
Cada componente é a derivada parcial de
em relação a uma variável, mantendo as outras fixas. Por exemplo, para calcular
você pode usar a definição por limite:
ou aplicar regras de diferenciação (soma, produto, cadeia, potências) se
for dada por uma expressão algébrica comum.
Exemplo ilustrativo completo (apenas para aprender o procedimento):
Considere a função de exemplo .
Considere a função de exemplo
- Calcule
(tratamos como constantes). - Calcule
. - Calcule
.
Portanto
Avaliação no ponto
:
Isto mostra como se faz: você precisa da expressão de
para derivar e depois avaliar no ponto. Não podemos substituir
por
real do enunciado sem a fórmula.
Passo 3
O que significa “
é um valor regular para
” — explicação didática e como testar na prova.
Definição prática:
O número é um valor regular de
se, para todo ponto
, o gradiente
existe e é diferente do vetor nulo. Em símbolos:
O número
Como testar (passos que você faz na prova):
- Liste todos os pontos
tais que (ou, se for impossível listar todos, verifique uma condição que garanta em todos eles). - Calcule
para cada (ou mostre que nunca pode ser zero por alguma razão). - Se em algum
ocorrer , então NÃO é valor regular. Se em todos os o gradiente for não nulo, então é valor regular.
Exemplo ilustrativo:
Para , o conjunto
é a esfera unitária. Em qualquer
na esfera temos
, que nunca é o vetor zero porque
tem norma
. Logo
é valor regular de
.
Para
Passo 4
Como encontrar um vetor normal a
num ponto (aula rápida com intuição).
Fato chave (muito usado em provas): Para uma função
diferenciável, a \emph{normal} à superfície nível
em um ponto
é justamente o gradiente
, desde que
.
Por que isso é verdade (intuição curta):
- A superfície
é composta por pontos onde tem o mesmo valor . - Se
é vetor tangente à superfície em , a derivada direcional de na direção é zero (porque ao mover-se sobre a superfície não muda). - A derivada direcional em direção
é . Então para todo vetor tangente temos , ou seja, é ortogonal ao espaço tangente — é um vetor normal.
Como aplicar na prova:
- Calcule
. - Se
, então qualquer múltiplo de é um vetor normal válido. - Se
, o ponto é crítico e a superfície pode ser singular ali (não dá para usar a regra do gradiente para obter a normal); aí precisa de análise adicional.
Exemplo ilustrativo com
:
. Em
da esfera,
aponta radialmente e é normal à esfera.
Passo 5
Casos especiais e o que fazer se
.
Se ao avaliar no ponto
você obtiver
, então:
-
é um ponto crítico de . - Isso significa que
pode ser um valor crítico (não-regular); para decidir se é ou não um valor regular você precisa verificar se \emph{algum} ponto em tem gradiente nulo. Se houver pelo menos um tal ponto, não é valor regular. - Em problemas de prova, quando o gradiente some, normalmente você precisa fazer uma análise de ordem superior (Hessiana, estudo local, ou parametrização do conjunto nível) para entender a geometria local, mas isso é mais avançado.
Passo 6
Aplicação ao enunciado concreto — o que podemos concluir com as informações que você deu.
- Para encontrar
explicitamente é necessário conhecer a expressão de . Essa expressão não foi fornecida no enunciado que você me mandou (você citou “funções e da questão anterior”, mas a questão anterior não veio junto). Portanto eu não posso calcular as derivadas parciais nem fornecer a forma numérica de . - Sem
não é possível decidir se é um valor regular, porque isso exige verificar se para todo . - Sem
também não posso fornecer um vetor normal concreto a em . O procedimento, se você tiver , é simplesmente calcular e tomar esse vetor (ou qualquer múltiplo) como normal, desde que ele não seja o vetor nulo.
Passo 7
Resumo prático para a sua prova — checklist rápido que você pode aplicar assim que tiver a expressão de
.
- Pegue a expressão de
. - Calcule as derivadas parciais:
- Monte
. - Avalie
em para obter o vetor normal candidato. - Para verificar se
é valor regular, verifique para todos tais que ; se em todos eles o gradiente for não nulo, então é valor regular; se existir algum com gradiente nulo, então não é.
Resposta
Não é possível calcular
porque a expressão de
não foi fornecida.
Não é possível afirmar se é valor regular sem conhecer
em todos os pontos de
.
Não é possível fornecer um vetor normal concreto em sem conhecer
.
Não é possível afirmar se
Não é possível fornecer um vetor normal concreto em