Tendo em conta as funções f e g da questão anterior.
c=|y| \geqslant 2,
A=\{(x, y, z): z>-1\}
Encontre \nabla f. O número real a=0 é um valor regular para f ? Encontre um vetor normal à f^{-1}(0) no ponto (0,0,0) \in f^{-1}(0).

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) encontrar \nabla f; (2) decidir se o número real a=0 é um valor regular para f; (3) encontrar um vetor normal a f^{-1}(0) no ponto (0,0,0), sabendo que (0,0,0)\in f^{-1}(0).
As informações fornecidas no enunciado que recebi aqui são:
c=|y|\geqslant 2,
A=\{(x,y,z): z>-1\},
e a afirmação de que (0,0,0)\in f^{-1}(0).
Porém, o enunciado começa com “Tendo em conta as funções f e g da questão anterior” — e a definição explícita de f (a fórmula ou expressão de f(x,y,z)) não foi fornecida aqui. Sem a expressão de f não é possível calcular as derivadas parciais nem a \nabla f numérica.
Vou então: (i) explicar passo a passo como você deve proceder para obter cada item na prova (aulas rápidas e exemplos), e (ii) no final dizer claramente o que é possível afirmar aqui com as informações que você deu.

Passo 2

O que é \nabla f e como se calcula (aula prática, passo a passo).
Definição operacional:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z),\;\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right).
Cada componente é a derivada parcial de f em relação a uma variável, mantendo as outras fixas. Por exemplo, para calcular \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0) você pode usar a definição por limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{h},
ou aplicar regras de diferenciação (soma, produto, cadeia, potências) se f for dada por uma expressão algébrica comum.
Exemplo ilustrativo completo (apenas para aprender o procedimento):
Considere a função de exemplo \tilde f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1.
  • Calcule \frac{\partial \tilde f}{\partial x}=2x (tratamos y,z como constantes).
  • Calcule \frac{\partial \tilde f}{\partial y}=2y.
  • Calcule \frac{\partial \tilde f}{\partial z}=2z.
    Portanto
\nabla \tilde f(x,y,z)=(2x,2y,2z).
Avaliação no ponto (0,0,0):
\nabla \tilde f(0,0,0)=(0,0,0).
Isto mostra como se faz: você precisa da expressão de f para derivar e depois avaliar no ponto. Não podemos substituir \tilde f por f real do enunciado sem a fórmula.

Passo 3

O que significa “ a=0 é um valor regular para f” — explicação didática e como testar na prova.
Definição prática:
O número a\in\mathbb{R} é um valor regular de f se, para todo ponto p\in f^{-1}(a), o gradiente \nabla f(p) existe e é diferente do vetor nulo. Em símbolos:
a \text{ é valor regular }\quad\iff\quad \forall p\in f^{-1}(a),\; \nabla f(p)\neq(0,0,0).é
Como testar (passos que você faz na prova):
  1. Liste todos os pontos p tais que f(p)=a (ou, se for impossível listar todos, verifique uma condição que garanta \nabla f\neq 0 em todos eles).
  2. Calcule \nabla f(p) para cada p (ou mostre que nunca pode ser zero por alguma razão).
  3. Se em algum p\in f^{-1}(a) ocorrer \nabla f(p)=(0,0,0), então a NÃO é valor regular. Se em todos os p o gradiente for não nulo, então a é valor regular.
Exemplo ilustrativo:
Para \tilde f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1, o conjunto \tilde f^{-1}(0) é a esfera unitária. Em qualquer p na esfera temos \nabla\tilde f(p)=2p, que nunca é o vetor zero porque p tem norma 1. Logo 0 é valor regular de \tilde f.

Passo 4

Como encontrar um vetor normal a f^{-1}(0) num ponto (aula rápida com intuição).
Fato chave (muito usado em provas): Para uma função f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} diferenciável, a \emph{normal} à superfície nível f^{-1}(a) em um ponto p é justamente o gradiente \nabla f(p), desde que \nabla f(p)\neq(0,0,0).
Por que isso é verdade (intuição curta):
  • A superfície f^{-1}(a) é composta por pontos onde f tem o mesmo valor a.
  • Se v é vetor tangente à superfície em p, a derivada direcional de f na direção v é zero (porque ao mover-se sobre a superfície f não muda).
  • A derivada direcional em direção v é \nabla f(p)\cdot v. Então para todo vetor tangente v temos \nabla f(p)\cdot v=0, ou seja, \nabla f(p) é ortogonal ao espaço tangente — é um vetor normal.
Como aplicar na prova:
  • Calcule \nabla f(p).
  • Se \nabla f(p)\neq(0,0,0), então qualquer múltiplo de \nabla f(p) é um vetor normal válido.
  • Se \nabla f(p)=(0,0,0), o ponto é crítico e a superfície pode ser singular ali (não dá para usar a regra do gradiente para obter a normal); aí precisa de análise adicional.
Exemplo ilustrativo com \tilde f:
\nabla\tilde f(p)=2p. Em p da esfera, \nabla\tilde f(p) aponta radialmente e é normal à esfera.

Passo 5

Casos especiais e o que fazer se \nabla f(p)=(0,0,0).
Se ao avaliar no ponto p=(0,0,0) você obtiver \nabla f(p)=(0,0,0), então:
  • p é um ponto crítico de f.
  • Isso significa que 0 pode ser um valor crítico (não-regular); para decidir se é ou não um valor regular você precisa verificar se \emph{algum} ponto em f^{-1}(0) tem gradiente nulo. Se houver pelo menos um tal ponto, 0 não é valor regular.
  • Em problemas de prova, quando o gradiente some, normalmente você precisa fazer uma análise de ordem superior (Hessiana, estudo local, ou parametrização do conjunto nível) para entender a geometria local, mas isso é mais avançado.

Passo 6

Aplicação ao enunciado concreto — o que podemos concluir com as informações que você deu.
  • Para encontrar \nabla f explicitamente é necessário conhecer a expressão de f(x,y,z). Essa expressão não foi fornecida no enunciado que você me mandou (você citou “funções f e g da questão anterior”, mas a questão anterior não veio junto). Portanto eu não posso calcular as derivadas parciais nem fornecer a forma numérica de \nabla f.
  • Sem \nabla f não é possível decidir se a=0 é um valor regular, porque isso exige verificar se \nabla f(p)\neq(0,0,0) para todo p\in f^{-1}(0).
  • Sem \nabla f também não posso fornecer um vetor normal concreto a f^{-1}(0) em (0,0,0). O procedimento, se você tiver f, é simplesmente calcular \nabla f(0,0,0) e tomar esse vetor (ou qualquer múltiplo) como normal, desde que ele não seja o vetor nulo.

Passo 7

Resumo prático para a sua prova — checklist rápido que você pode aplicar assim que tiver a expressão de f.
  1. Pegue a expressão de f(x,y,z).
  2. Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y},\quad \frac{\partial f}{\partial z}.
  1. Monte \nabla f(x,y,z).
  2. Avalie \nabla f em (0,0,0) para obter o vetor normal candidato.
  3. Para verificar se 0 é valor regular, verifique \nabla f(p) para todos p tais que f(p)=0; se em todos eles o gradiente for não nulo, então 0 é valor regular; se existir algum com gradiente nulo, então não é.

Resposta

Não é possível calcular \nabla f porque a expressão de f não foi fornecida.
Não é possível afirmar se a=0 é valor regular sem conhecer \nabla f em todos os pontos de f^{-1}(0).
Não é possível fornecer um vetor normal concreto em (0,0,0) sem conhecer \nabla f(0,0,0).

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