Seja I um intervalo de \mathbb{R} e seja \alpha: I \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva duas vezes diferenciável. Escolha um dos dois itens abaixo para responder:
Mostre que \frac{d}{d t}\left[\alpha(t) \times \alpha^{\prime}(t)\right]=\alpha(t) \times \alpha^{\prime \prime}(t), onde \times indica o produto vetorial.

Passo 1

O enunciado dá uma curva duas vezes diferenciável \alpha: I \longrightarrow \mathbb{R}^{3}. Preciso mostrar que
\frac{d}{dt}\big[\alpha(t)\times\alpha'(t)\big]=\alpha(t)\times\alpha''(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha é duas vezes diferenciável, logo \alpha, \alpha' e \alpha'' existem e são funções contínuas apropriadas.
  • O símbolo \times é o produto vetorial em \mathbb{R}^3.
    O que se pede: provar a igualdade acima para todo t\in I.

Passo 2

Primeiro lembramos como se diferencia uma função vetorial componente a componente. Se
\alpha(t) = \big(x(t),\,y(t),\,z(t)\big),
então por definição de derivada de função vetorial
\alpha'(t)=\big(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\big),
pois a derivada age nas componentes. Como \alpha é duas vezes diferenciável, também \alpha''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t)) existe. Essa propriedade (derivar componente a componente) é básica e vem da definição limite da derivada.

Passo 3

Agora recordamos a expressão de produto vetorial por componentes. Dadas duas funções vetoriais
a(t)=(a_1(t),a_2(t),a_3(t)),\qquad b(t)=(b_1(t),b_2(t),b_3(t)),
o produto vetorial a(t)\times b(t) tem componentes
\begin{aligned} \big(a(t)\times b(t)\big)_1 &= a_2(t)\,b_3(t)-a_3(t)\,b_2(t),\\\ \big(a(t)\times b(t)\big)_2 &= a_3(t)\,b_1(t)-a_1(t)\,b_3(t),\\\ \big(a(t)\times b(t)\big)_3 &= a_1(t)\,b_2(t)-a_2(t)\,b_1(t). \end{aligned}

Passo 4

Aplicamos a derivada componente a componente à expressão do produto vetorial e usamos a regra do produto (Leibniz) para funções reais. Por exemplo, diferenciando a primeira componente,
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\big(a_2 b_3 - a_3 b_2\big) &= a_2' b_3 + a_2 b_3' - a_3' b_2 - a_3 b_2'\\\ &= \big(a_2' b_3 - a_3' b_2\big) + \big(a_2 b_3' - a_3 b_2'\big). \end{aligned}
Mas os termos entre parênteses são exatamente a primeira componente de a'(t)\times b(t) e de a(t)\times b'(t), respectivamente. Repetindo para as outras componentes obtemos a relação vetorial (produto vetorial satisfaz bilinearidade):
\frac{d}{dt}\big[a(t)\times b(t)\big]=a'(t)\times b(t)+a(t)\times b'(t).
Ou seja, a derivada do produto vetorial satisfaz a regra do produto como esperamos.

Passo 5

Aplique a identidade do Passo 4 ao caso a(t)=\alpha(t) e b(t)=\alpha'(t). Temos
\frac{d}{dt}\big[\alpha(t)\times\alpha'(t)\big]=\alpha'(t)\times\alpha'(t)+\alpha(t)\times\alpha''(t).

Passo 6

Observamos que para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3 vale v\times v = 0. Isso pode ser visto por componente (cada componente do determinante dá zero) ou pela propriedade antissimétrica do produto vetorial: v\times v = -\,v\times v, logo é o vetor nulo. Aplicando isso com v=\alpha'(t) obtemos \alpha'(t)\times\alpha'(t)=0.

Passo 7

Substituindo do Passo 6 em Passo 5, a primeira parcela some e sobra apenas
\frac{d}{dt}\big[\alpha(t)\times\alpha'(t)\big]=\alpha(t)\times\alpha''(t).
Isso conclui a demonstração. (Observação: usamos apenas que \alpha é C^2 para garantir que \alpha' é diferenciável e que as operações acima são válidas.)

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\big[\alpha(t)\times\alpha'(t)\big]=\alpha(t)\times\alpha''(t)

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