Seja
um intervalo de
e seja
uma curva duas vezes diferenciável. Escolha um dos dois itens abaixo para responder:
Mostre que
, onde
indica o produto vetorial.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma curva duas vezes diferenciável
. Preciso mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
-
é duas vezes diferenciável, logo , e existem e são funções contínuas apropriadas. - O símbolo
é o produto vetorial em .
O que se pede: provar a igualdade acima para todo.
Passo 2
Primeiro lembramos como se diferencia uma função vetorial componente a componente. Se
então por definição de derivada de função vetorial
pois a derivada age nas componentes. Como
é duas vezes diferenciável, também
existe. Essa propriedade (derivar componente a componente) é básica e vem da definição limite da derivada.
Passo 3
Agora recordamos a expressão de produto vetorial por componentes. Dadas duas funções vetoriais
o produto vetorial
tem componentes
Passo 4
Aplicamos a derivada componente a componente à expressão do produto vetorial e usamos a regra do produto (Leibniz) para funções reais. Por exemplo, diferenciando a primeira componente,
Mas os termos entre parênteses são exatamente a primeira componente de
e de
, respectivamente. Repetindo para as outras componentes obtemos a relação vetorial (produto vetorial satisfaz bilinearidade):
Ou seja, a derivada do produto vetorial satisfaz a regra do produto como esperamos.
Passo 5
Aplique a identidade do Passo 4 ao caso
e
. Temos
Passo 6
Observamos que para qualquer vetor
vale
. Isso pode ser visto por componente (cada componente do determinante dá zero) ou pela propriedade antissimétrica do produto vetorial:
, logo é o vetor nulo. Aplicando isso com
obtemos
.
Passo 7
Substituindo do Passo 6 em Passo 5, a primeira parcela some e sobra apenas
Isso conclui a demonstração. (Observação: usamos apenas que
é
para garantir que
é diferenciável e que as operações acima são válidas.)