Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t t0 :
f(t)=(3 t+7) i+sen tt j+t^3t-t^2 k, t0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função vetorial f(t) quando t se aproxima de t0 = 0. A função dada é:
f(t) = (3 t + 7) i + sin tt j + t^3t - t^2 k
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente da função vetorial separadamente. Vamos precisar usar propriedades de limites e alguns conhecimentos básicos de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente na direção i:
limt to 0 (3t + 7)
Esse é um polinômio simples, e para limites de polinômios, a gente pode substituir diretamente o valor para encontrar o limite. Então:
limt to 0 (3t + 7) = 3 times 0 + 7 = 7

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção j:
limt to 0 sin tt
Esse limite é um clássico no cálculo e é conhecido por ser igual a 1. A razão disso é que, quando t se aproxima de 0, sin t se comporta praticamente como t, então a fração se aproxima de 1.

Passo 4

Por ��ltimo, vamos calcular o limite da componente na direção k:
limt to 0 t^3t - t^2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. No denominador, podemos fatorar t:
t - t^2 = t(1 - t)
Então, a expressão fica:
t^3t(1 - t) = t^21 - t
Agora, substituímos t por 0:
limt to 0 t^21 - t = 0^21 - 0 = 01 = 0

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial f(t) quando t tende a 0 é:
f(t) to 7, i + 1, j + 0, k

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