Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointc(e^x^2 d x+(x+z) d y+(2 x-z) d z), onde C é o contorno da parte do plano x+2 y^prime+z=4 que está no l^prime prime octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma integral de linha ao longo de um contorno ointC(e^x^2 dx + (x + z) dy + (2x - z) dz) que é a parte do plano no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário. O objetivo é usar o Teorema de Stokes para calcular essa integral:
Para resolver isso, precisamos conhecer o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre a superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F = (e^x^2, x + z, 2x - z) da integral de linha:
Agora, vamos calcular a rotacional desse campo vetorial, que é essencial para aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 3

A rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , denotada por partial F3partial y = 0, partial F2partial z = 1 , é dada por:
partial F1partial z = 0, partial F3partial x = 2
Calculando cada componente:
partial F2partial x = 1, partial F1partial y = 0
nabla times F = (0 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (-1, -2, 1)
Então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a superfície ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS limitada pelo contorno . Aqui, é a parte do plano no primeiro octante. Vamos encontrar o vetor normal a esse plano.
A equação do plano pode ser escrita na forma , onde , , . O vetor normal é então .
Para simplificar a integração, vamos usar o teorema de Stokes, que nos diz:
Precisamos então calcular o produto escalar .

Passo 5

Calculando o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = (-1, -2, 1) cdot (1, 2, 1) = (-1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) = -1 -4 +1 = -4
Portanto, a integral de superfície fica:
integral duplaS (-4) , dS = -4 integral duplaS dS
Agora, precisamos calcular a área da superfície .

Passo 6

A superfície Área = 12 |AB times AC| é um triângulo no primeiro octante delimitado pelas interseções do plano com os eixos:
  • Quando AB = B - A = (-4, 2, 0) e AC = C - A = (-4, 0, 4) : AB times AC = i & j & k -4 & 2 & 0 -4 & 0 & 4 = (2 cdot 4 - 0 cdot 0)i - (-4 cdot 4 - 0 cdot -4)j + (-4 cdot 0 - 2 cdot -4)k = (8)i - (-16)j + (8)k = (8, 16, 8) → ponto |AB times AC| = raiz8^2 + 16^2 + 8^2 = raiz64 + 256 + 64 = raiz384 = 8raiz6 .
  • Quando Área = 12 times 8raiz6 = 4raiz6 e : → ponto .
  • Quando e : → ponto .
A área de um triângulo com vértices , , e pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Calculando os vetores:
Calculando o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á

Passo 7

Voltando à nossa integral de superfície:
-4 integral duplaS dS = -4 times Área = -4 times 4raiz6 = -16raiz6 Á
Portanto, a integral de linha original é igual a .

Resposta

A integral de linha é igual a .

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