Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada: , onde é o contorno da parte do plano que está no octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma integral de linha ao longo de um contorno que é a parte do plano no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário. O objetivo é usar o Teorema de Stokes para calcular essa integral:
Para resolver isso, precisamos conhecer o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre a superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial da integral de linha:
Agora, vamos calcular a rotacional desse campo vetorial, que é essencial para aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 3
A rotacional de , denotada por , é dada por:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a superfície limitada pelo contorno . Aqui, é a parte do plano no primeiro octante. Vamos encontrar o vetor normal a esse plano.
A equação do plano pode ser escrita na forma , onde , , . O vetor normal é então .
Para simplificar a integração, vamos usar o teorema de Stokes, que nos diz:
Precisamos então calcular o produto escalar .
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Portanto, a integral de superfície fica:
Agora, precisamos calcular a área da superfície .
Passo 6
A superfície é um triângulo no primeiro octante delimitado pelas interseções do plano com os eixos:
Quando e : → ponto .
Quando e : → → ponto .
Quando e : → ponto .
A área de um triângulo com vértices , , e pode ser calculada usando a fórmula:
Calculando os vetores:
Calculando o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á
Passo 7
Voltando à nossa integral de superfície:
-4 integral duplaS dS = -4 times Área = -4 times 4raiz6 = -16raiz6 Á
Portanto, a integral de linha original é igual a .