Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas: t y' - 2 y = 3 t.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação diferencial que você me enviou: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, em seguida, encontrar a solução geral dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos puderem ser expressos como funções que têm o mesmo grau quando você considera as variáveis envolvidas. No caso da nossa equação , vamos analisar os termos:
  • : aqui, está multiplicando a derivada de .
  • : esse termo é apenas multiplicado por uma constante.
  • : esse termo é uma constante multiplicada por .
Para que a equação seja homogênea, todos os termos deveriam ter o mesmo grau em e , mas aqui isso não acontece diretamente. No entanto, podemos manipular a equação para colocá-la em uma forma que facilite a resolução.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por (supondo que ), temos:
Agora, identificamos que:

Passo 4

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que facilita a integração da equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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