Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação diferencial que você me enviou:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, em seguida, encontrar a solução geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos puderem ser expressos como funções que têm o mesmo grau quando você considera as variáveis envolvidas. No caso da nossa equação
, vamos analisar os termos:
-
: aqui, está multiplicando a derivada de . -
: esse termo é apenas multiplicado por uma constante. -
: esse termo é uma constante multiplicada por .
Para que a equação seja homogênea, todos os termos deveriam ter o mesmo grau em
e
, mas aqui isso não acontece diretamente. No entanto, podemos manipular a equação para colocá-la em uma forma que facilite a resolução.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por
(supondo que
), temos:
Agora, identificamos que:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que facilita a integração da equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: