Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointc[y d x+(x+y+2 z) d y+(x+2 y) d z], onde C é a intersecção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que liga uma integral de linha a uma integral de superfície, e calcular o rotacional do campo vetorial envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como borda. Matemáticamente, fica assim:
Onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F = lang<= y,, x + y + 2z,, x + 2y rang<= do problema:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Agora, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:
partial F3partial y = partial (x + 2y)partial y = 2
partial F2partial z = partial (x + y + 2z)partial z = 2
partial F1partial z = partial ypartial z = 0
partial F3partial x = partial (x + 2y)partial x = 1
partial F2partial x = partial (x + y + 2z)partial x = 1
partial F1partial y = partial ypartial y = 1
Então, o rotacional fica:
nabla times F = lang<= 2 - 2, 0 - 1, 1 - 1 rang<= = lang<= 0, -1, 0 rang<=

Passo 5

Agora precisamos escolher uma superfície r(x, y) = lang<= x, y, y rang<= que tenha n = lang<= 0, -1, 1 rang<= como borda. Uma escolha conveniente é usar a parte do plano n = 1raiz2 lang<= 0, -1, 1 rang<= dentro do cilindro . A equação paramétrica dessa superfície pode ser:
O vetor normal para o plano pode ser obtido a partir dos coeficientes da equação. O plano pode ser reescrito como , então:
Para simplificar, vamos usar o vetor normal unitário:

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
integral duplaS lang<= 0, -1, 0 rang<= cdot 1raiz2 lang<= 0, -1, 1 rang<=, dS = integral duplaS 1raiz2 (0 cdot 0 + (-1)(-1) + 0 cdot 1), dS = integral duplaS 1raiz2, dS
A área da região ointC F cdot dr = 1raiz2 cdot pi = piraiz2 no plano dentro do cilindro é a área do círculo de raio 1, que é . Então:

Resposta

A integral de linha é .

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