Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é a intersecção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que liga uma integral de linha a uma integral de superfície, e calcular o rotacional do campo vetorial envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como borda. Matemáticamente, fica assim:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
do problema:
Agora, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
Então, o rotacional fica:
Passo 5
Agora precisamos escolher uma superfície
que tenha
como borda. Uma escolha conveniente é usar a parte do plano
dentro do cilindro
. A equação paramétrica dessa superfície pode ser:
O vetor normal
para o plano
pode ser obtido a partir dos coeficientes da equação. O plano pode ser reescrito como
, então:
Para simplificar, vamos usar o vetor normal unitário:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
A área da região
no plano
dentro do cilindro
é a área do círculo de raio 1, que é
. Então:
Resposta
A integral de linha é
.