Considere as funções vetoriais definidas por:
F(t)=(cos t, sin t, t), G(t)=(t, t^2, t^3), H(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule as seguintes expressões:
F(t) cdot G(t)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções vetoriais em R^3:
F(t)=(cos t,;sin t,;t), G(t)=(t,;t^2,;t^3),
e pede o produto escalar F(t)cdotG(t). O conteúdo é o produto interno de vetores em R^3 e usaremos sua definição.

Passo 2

Sejam A=(A1,A2,A3) e B=(B1,B2,B3), então por definição
AcdotB=A1B1 + A2B2 + A3B3

Passo 3

No nosso caso, Ai são as componentes de F(t) e Bi as de G(t). Logo,
F(t)cdotG(t) = (cos t)cdot t + (sin t)cdot t^2 + (t)cdot t^3

Passo 4

Basta simplificar cada termo:
(cos t),t = tcos t, (sin t),t^2 = t^2sin t, tcdot t^3 = t^4
Somando, obtemos a expressão final.

Resposta

F(t)cdotG(t) = tcos t ;+; t^2sin t ;+; t^4

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