Seja
uma campo vetorial contínuo sobre o conjunto aberto e conexo por caminho
.
Dizemos que a integral de linha de
independe do caminho de integração em
, se quaisquer que forem os pontos
, o valor da integral de
permanece o mesmo para toda curva
por partes
, com
e
. Neste caso, denotaremos
. Verifique a seguinte equivalência:
(I)
é conservativo com função potencial
.
(II) A integral de
ao longo qualquer curva fechada
por partes
:
é igual a zero.
(III) A integral de
independe do caminho de integração em
.
(I)
(II) A integral de
(III) A integral de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num campo vetorial contínuo
definido em um aberto conexo por caminhos
, as três afirmações abaixo são equivalentes:
(I) é conservativo, isto é,
com
(I)
(II) Para toda curva fechada
por partes
vale
(III) A integral de linha de
independe do caminho em
.
Vamos provar as implicações .
Vamos provar as implicações
Passo 2
Provar
.
Suponha . Seja
uma curva fechada, ou seja,
. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha:
Suponha
Passo 3
Provar
.
Considere dois caminhos e
de
a
. Defina a curva fechada
como ir por
de
a
e voltar por
de
a
(reparametrizada). Então, usando (II),
Considere dois caminhos
Logo
, ou seja, a integral independe do caminho.
Passo 4
Provar
.
Suponha a independência de caminho e escolha um ponto fixo . Defina
Suponha a independência de caminho e escolha um ponto fixo
Como a integral independe do caminho,
está bem-definida. Para mostrar
, tome a derivada parcial em relação a
. Se
é o
-ésimo vetor canônico, então
Para
pequeno, o caminho de
a
pode-se aproximar de um segmento de reta, de modo que
Fazendo isso para cada
, conclui-se
, ou seja,
é conservativo com potencial
.
Resposta
As três afirmações são logicamente equivalentes:
(I) (II)
(III).
(I)