Seja F uma campo vetorial contínuo sobre o conjunto aberto e conexo por caminho Omega subset R^n.
Dizemos que a integral de linha de F independe do caminho de integração em Omega, se quaisquer que forem os pontos A, B in Omega, o valor da integral de F permanece o mesmo para toda curva C^1 por partes gamma:[a, b] Omega, com gamma(a)=A e gamma(b)=B. Neste caso, denotaremos integralA^B F d r. Verifique a seguinte equivalência:
(I) F é conservativo com função potencial phi(X)=integralA^X F d r.
(II) A integral de F ao longo qualquer curva fechada C^1 por partes gamma : [a, b] Omega é igual a zero.
(III) A integral de F independe do caminho de integração em Omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num campo vetorial contínuo vec F definido em um aberto conexo por caminhos Omegasubset R^n, as três afirmações abaixo são equivalentes:
(I) vec F é conservativo, isto é, vec F=nablaphi com
phi(X)=integralA^Xvec Fcdot d r
(II) Para toda curva fechada C^1 por partes gammacolon[a,b]toOmega vale
integralgammavec Fcdot dr=0
(III) A integral de linha de vec F independe do caminho em Omega.
Vamos provar as implicações (I)implies(II)implies(III)implies(I).

Passo 2

Provar (I)implies(II).
Suponha vec F=nablaphi. Seja gamma uma curva fechada, ou seja, gamma(a)=gamma(b)=P. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha:
integralgammavec Fcdot dr =integrala^bnablaphi(gamma(t))cdotgamma'(t),dt =phi(gamma(b))-phi(gamma(a)) =phi(P)-phi(P)=0

Passo 3

Provar (II)implies(III).
Considere dois caminhos gamma1 e gamma2 de A a B. Defina a curva fechada Gamma como ir por gamma1 de A a B e voltar por gamma2 de B a A (reparametrizada). Então, usando (II),
0 =integralGammavec Fcdot dr =integralgamma1vec Fcdot dr +integralgamma2^-1vec Fcdot dr =integralgamma1vec Fcdot dr -integralgamma2vec Fcdot dr
Logo integralgamma1vec Fcdot dr=integralgamma2vec Fcdot dr, ou seja, a integral independe do caminho.

Passo 4

Provar (III)implies(I).
Suponha a independência de caminho e escolha um ponto fixo AinOmega. Defina
phi(X)=integralA^Xvec Fcdot dr
Como a integral independe do caminho, phi está bem-definida. Para mostrar nablaphi=vec F, tome a derivada parcial em relação a xi. Se ei é o i-ésimo vetor canônico, então
partialphipartial xi(X) =limhto0phi(X+h,ei)-phi(X)h =limhto01hintegralX^,X+h,eivec Fcdot dr
Para h pequeno, o caminho de X a X+h,ei pode-se aproximar de um segmento de reta, de modo que
integralX^X+h,eivec Fcdot dr approx Fi(X),h Longrightarrow partialphipartial xi(X)=Fi(X)
Fazendo isso para cada i, conclui-se nablaphi(X)=vec F(X), ou seja, vec F é conservativo com potencial phi.

Resposta

As três afirmações são logicamente equivalentes:
(I) iff (II) iff (III).

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