Considere as funções vetoriais definidas por:
F(t)=(cos t, sin t, t), G(t)=(t, t^2, t^3), H(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule as seguintes expressões:
F(t) times G(t)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais
F(t) = (cos t,;sin t,;t), G(t) = (t,;t^2,;t^3)
e pede o produto vetorial F(t)timesG(t).
O conteúdo aqui é produto vetorial em R^3. Vamos usar a definição via determinante de 3times3.

Passo 2

Para dois vetores F=(a,b,c) e G=(d,e,f), o produto vetorial é
FtimesG = i & j & k a & b & c d & e & f = l(bf - ce,;cd - af,;ae - bdr)
Aqui temos
a = cos t, b = sin t, c = t,
d = t, e = t^2, f = t^3

Passo 3

Agora calculamos cada componente:
Componente em i:
bf - ce = (sin t),t^3 ;-;t,(t^2) = t^3sin t ;-;t^3 = t^3(sin t - 1)
Componente em j:
cd - af = tcdot t ;-;(cos t),t^3 = t^2 ;-;t^3cos t
Componente em k:
ae - bd = (cos t),t^2 ;-;(sin t),t = t^2cos t ;-;tsin t = tl(tcos t - sin tr)

Passo 4

Reunindo tudo, temos
F(t)timesG(t) = l( t^3(sin t - 1),; t^2 - t^3cos t,; t^2cos t - tsin t r)

Resposta

F(t)timesG(t) = l(t^3(sin t - 1),;t^2 - t^3cos t,;t^2cos t - tsin tr)

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