Dizemos que um subconjunto
é simplesmente conexo, quando
é conexo por caminho e toda curva fechada e contínua em
pode ser deformada continuamente a um ponto de
sem sair de
. Verique quais conjuntos são simplesmente conexo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é simplesmente conexo, isto é, que (i)
é conexo por caminhos e (ii) toda curva fechada contínua em
pode ser contraída continuamente a um ponto sem sair de
. Vamos usar a convexidade de
.
Passo 2
Para ver que
é conexo por caminhos, tomemos quaisquer dois pontos
. Definimos o caminho
Como
é a combinação afim de
e
, fica claro que
,
e
é contínua, logo
é conexo por caminhos.
Passo 3
Seja agora
uma curva fechada contínua, ou seja,
. Para construir a deformação contínua (homotopia) que leva
à curva constante em
, usemos a homotopia linear
Verificações:
-
recupera a curva original. -
é a curva constante. - Para todo
, é combinação afim de pontos em , logo pertence a . -
é contínua em .
Passo 4
Concluímos que toda curva fechada em
é nula-homotópica via
, sem sair de
. Assim,
é simplesmente conexo.