Dizemos que um subconjunto Omega subset R^n é simplesmente conexo, quando Omega é conexo por caminho e toda curva fechada e contínua em Omega pode ser deformada continuamente a um ponto de Omega sem sair de Omega. Verique quais conjuntos são simplesmente conexo:
R^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que Omega=R^n é simplesmente conexo, isto é, que (i) R^n é conexo por caminhos e (ii) toda curva fechada contínua em R^n pode ser contraída continuamente a um ponto sem sair de R^n. Vamos usar a convexidade de R^n.

Passo 2

Para ver que R^n é conexo por caminhos, tomemos quaisquer dois pontos x,yinR^n. Definimos o caminho
gammacolon[0,1]toR^n, gamma(t) = (1-t)x + t,y
Como gamma é a combinação afim de x e y, fica claro que gamma(0)=x, gamma(1)=y e gamma é contínua, logo R^n é conexo por caminhos.

Passo 3

Seja agora alphacolon[0,1]toR^n uma curva fechada contínua, ou seja, alpha(0)=alpha(1)=p. Para construir a deformação contínua (homotopia) que leva alpha à curva constante em p, usemos a homotopia linear
Hcolon[0,1]times[0,1]toR^n, H(s,t) = (1-s),alpha(t) + s,p
Verificações:
  1. H(0,t)=alpha(t) recupera a curva original.
  2. H(1,t)=p é a curva constante.
  3. Para todo (s,t), H(s,t) é combinação afim de pontos em R^n, logo pertence a R^n.
  4. H é contínua em (s,t).

Passo 4

Concluímos que toda curva fechada em R^n é nula-homotópica via H, sem sair de R^n. Assim, R^n é simplesmente conexo.

Resposta

R^n é simplesmente conexo para todo n>=1.

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