Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
x^prime prime+x & =de<a(t-t0) y(0)=0 & y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com impulso
x''(t) + x(t) = de<al(t - t0r)
sujeita às condições iniciais
x(0)=0, x'(0)=0
O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para equações diferenciais e, em particular, a propriedade de deslocamento no tempo para funções forçadas por um delta.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Lx''(s) = s^2 X(s) - s,x(0) - x'(0)
e Lde<a(t-t0)(s)=e^-t0s. Como x(0)=0 e x'(0)=0, fica
s^2 X(s) + X(s) = e^-t0s

Passo 3

Agrupando X(s), obtemos
l(s^2 + 1r),X(s) = e^-t0s Longrightarrow X(s) = e^-t0ss^2 + 1

Passo 4

Para inverter usamos o teorema do deslocamento: se
Lf(t)(s)=F(s),
então
Lu(t-a),f(t-a)(s)=e^-a sF(s)
Aqui F(s)=1/(s^2+1) corresponde a f(t)=sin t, e a=t0. Logo
x(t) = u(t - t0),sinl(t - t0r),
onde u(t) é a função degrau de Heaviside.

Resposta

x(t) = 0, & t < t0, sinl(t - t0r), & t >= t0

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