Considere as funções vetoriais definidas por:
F(t)=(cos t, sin t, t), G(t)=(t, t^2, t^3), H(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule as seguintes expressões:
F(t) cdot(G(t) times H(t))

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais
F(t)=(cos t,sin t,t),
G(t)=(t,t^2,t^3) e
H(t)=(t,t+1,t+2)
e pede o produto escalar triplo F(t)cdotl(G(t)timesH(t)r).
Vamos usar a definição de produto vetorial para achar GtimesH e depois fazer o produto escalar com F.

Passo 2

Calcular GtimesH pelo determinante
GtimesH = i&j&k t&t^2&t^3 t&t+1&t+2
Isso dá as componentes
GtimesH =l(t^2(t+2)-t^3(t+1),;-l(t(t+2)-t^3cdot tr),;t(t+1)-t^2cdot tr)
GtimesH =(-t^4+2t^2,;t^4-t^2-2t,;-t^3+t^2+t)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
Fcdot(GtimesH) =cos t,(-t^4+2t^2) +sin t,(t^4-t^2-2t) +t,(-t^3+t^2+t)

Passo 4

Expandindo e coletando termos semelhantes, obtemos
Fcdot(GtimesH) &=-t^4cos t+2t^2cos t +t^4sin t-t^2sin t-2tsin t -t^4+t^3+t^2 &=t^4(sin t-cos t-1)+t^3 +t^2(2cos t-sin t+1)-2tsin t

Resposta

F(t)cdotl(G(t)timesH(t)r) =t^4(sin t-cos t-1)+t^3 +t^2(2cos t-sin t+1)-2tsin t

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