1. sumk=0^infty x^kk+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a região de convergência e, quando possível, transformar a série
sumk=0^infty x^kk+2
numa expressão fechada em função de x. Vamos usar testes de convergência de séries de potências e relacionar com a série conhecida
sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x), |x|<1

Passo 2

Aplicamos o teste da razão para encontrar o raio de convergência. Seja
ak=x^kk+2
Então
|ak+1ak| =|x^k+1/(k+3)x^k/(k+2)| =|x|;k+2k+3 ;xrightarrow[ktoinfty];|x|
Para convergir precisamos que |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Denotemos
S(x)=sumk=0^inftyx^kk+2
Para relacionar com a série de ln, observe que
x^2,S(x) =sumk=0^inftyx^k+2k+2 =sumn=2^inftyx^nn,
onde trocamos n=k+2.

Passo 4

A série sumn=2^inftyx^n/n difere da série de ln apenas pelo termo n=1. De fato,
sumn=2^inftyx^nn =sumn=1^inftyx^nn-x^11 =-ln(1-x)-x,
válido para |x|<1.

Passo 5

Voltando a S(x), temos
x^2,S(x)=-ln(1-x)-x Longrightarrow S(x)=-ln(1-x)-xx^2

Resposta

A série converge para |x|<1 e
sumk=0^inftyx^kk+2 =-ln(1-x)-xx^2, |x|<1

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