Passo 1
O enunciado pede para determinar a região de convergência e, quando possível, transformar a série
numa expressão fechada em função de
. Vamos usar testes de convergência de séries de potências e relacionar com a série conhecida
Passo 2
Aplicamos o teste da razão para encontrar o raio de convergência. Seja
Então
Para convergir precisamos que
|x|<1 . Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
Denotemos
Para relacionar com a série de
ln , observe que
onde trocamos
n=k+2 .
Passo 4
A série
sumn=2^inftyx^n/n difere da série de
ln apenas pelo termo
n=1 . De fato,
válido para
|x|<1 .
Passo 5
Voltando a
S(x) , temos
Resposta
A série converge para
|x|<1 e