Encontre a derivada (pela definição) das funções seguintes:
f(x)=x^3-5 x^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^3-5x^2+x+1 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos lembrar que isso envolve expandir f(x+h), subtrair f(x), dividir por h e finalmente calcular o limite quando hto0.

Passo 2

Calculemos primeiro a diferença f(x+h)-f(x).
Temos
f(x+h)=(x+h)^3-5(x+h)^2+(x+h)+1
Expandindo cada termo:
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3,
(x+h)^2=x^2+2xh+h^2
Logo
f(x+h)=l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r)-5l(x^2+2xh+h^2r)+(x+h)+1
Agora subtraímos f(x)=x^3-5x^2+x+1.

Passo 3

Agrupando e cancelando termos comuns com f(x):
f(x+h)-f(x) = l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r) -5l(x^2+2xh+h^2r) +(x+h)+1 -l(x^3-5x^2+x+1r)
Cancelam-se x^3, -5x^2, x e 1. Restam:
f(x+h)-f(x) =3x^2h+3xh^2+h^3 -5(2xh+h^2) +h
Distribuindo o -5:
=3x^2h+3xh^2+h^3-10xh-5h^2+h
Agrupando em potências de h:
= h,(3x^2-10x+1) ;+;h^2,(3x-5);+;h^3

Passo 4

Formamos o quociente e tiramos o limite:
f(x+h)-f(x)h =3x^2-10x+1 ;+;h,(3x-5);+;h^2
Agora, ao fazer hto0, os termos que contêm h e h^2 somam zero. Assim
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =3x^2-10x+1

Resposta

A derivada de f é
f'(x)=3x^2-10x+1

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