Um função vetorial
definida em uma aberto
, diz-se diferenciável no ponto
quando cada uma das suas funçõescoordenadas
é diferenciável neste ponto, para todo
. Assim, se
é tal que
, então sabemos que a derivada de cada componente
é dada por:
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial
no ponto p , na direção de
é dada por:
Que podemos denotar ainda por
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial
, denotamos a derivada do campo vetorial
, no ponto
, na direção do vetor
da seguinte maneira:
Partindo desta definição, verifique que:
Uma transformação linear
é diferenciável, com derivada dada por
para todo
;
Uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma transformação linear, então ela é diferenciável em todo ponto
e sua derivada coincide com a própria
. Vamos usar a definição de derivada direcional para funções vetoriais.
Passo 2
Como
é linear, vale para quaisquer
:
Subtraindo
de ambos os lados segue
Passo 3
Pela definição da derivada direcional de
em
na direção
:
Isso mostra que a derivada direcional existe para todo
e é dada por
. Como as derivadas direcionais se organizam numa aplicação linear, concluímos que
é diferenciável em
e que a diferencial
é exatamente
.
Resposta
A transformação linear
é diferenciável em todo ponto
e