Um função vetorial F: U subset R^m R^n definida em uma aberto U, diz-se diferenciável no ponto p in U quando cada uma das suas funçõescoordenadas Fi: U R é diferenciável neste ponto, para todo i:= 1,2, ldots, n. Assim, se v=(v1, ldots, vm) é tal que p+v in U, então sabemos que a derivada de cada componente Fi é dada por:
dotFi(p) V=lang<=nabla Fi(p), vrang<==partial Fipartial v(p)
Segue-se naturalmente que a derivada da função vetorial F(x)= (F1(x), ldots, Fn(x)) no ponto p , na direção de v é dada por:
dotF(p) cdot v=(lang<=nabla F1(p), vrang<=, ldots,lang<=nabla Fn(p), vrang<=)=(partial F1partial v(p), ldots, partial Fnpartial v(p))
Que podemos denotar ainda por
dotF(p) cdot v=partial Fpartial v(p)
Em particular, quando a função vetorial é uma campo vetorial F: U subset R^n R^n, denotamos a derivada do campo vetorial F, no ponto p, na direção do vetor v da seguinte maneira:
nablav F(p)=dotF(p) v
Partindo desta definição, verifique que:
Uma transformação linear T: R^m R^n é diferenciável, com derivada dada por dotT(x)=T(x) para todo x in R^m;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se T:R^mtoR^n é uma transformação linear, então ela é diferenciável em todo ponto pinR^m e sua derivada coincide com a própria T. Vamos usar a definição de derivada direcional para funções vetoriais.

Passo 2

Como T é linear, vale para quaisquer p,vinR^m:
T(p+v)=T(p)+T(v)
Subtraindo T(p) de ambos os lados segue
T(p+v)-T(p)=T(v)

Passo 3

Pela definição da derivada direcional de T em p na direção v:
dot T(p)cdot v =limhto 0Tl(p+h,vr)-T(p)h =limhto 0T(h,v)h =limhto 0h,T(v)h =T(v)
Isso mostra que a derivada direcional existe para todo v e é dada por T(v). Como as derivadas direcionais se organizam numa aplicação linear, concluímos que T é diferenciável em p e que a diferencial dot T(p) é exatamente T.

Resposta

A transformação linear T:R^mtoR^n é diferenciável em todo ponto x e
dot T(x)=T

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