Considere as funções vetoriais definidas por:
\mathbf{F}(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad \mathbf{G}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad \mathbf{H}(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule a seguinte expressão:
\mathbf{F}(t) \cdot(\mathbf{G}(t) \times \mathbf{H}(t))

Passo 1

O enunciado dá três funções vetoriais e pede o produto escalar de \mathbf{F}(t) com o produto vetorial \mathbf{G}(t)\times\mathbf{H}(t). Vou listar o que foi fornecido e exatamente o que é pedido.
  • Funções vetoriais (peguei estas do enunciado):
    • \mathbf{F}(t)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\ t\bigr).
    • \mathbf{G}(t)=\bigl(t,\\ t^{2},\\ t^{3}\bigr).
    • \mathbf{H}(t)=\bigl(t,\\ t+1,\\ t+2\bigr).
  • O que pedir: calcular
    \mathbf{F}(t)\cdot\bigl(\mathbf{G}(t)\times\mathbf{H}(t)\bigr).

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática e passo-a-passo):
  • O produto vetorial \mathbf{G}\times\mathbf{H} é um vetor perpendicular a \mathbf{G} e \mathbf{H}. A forma direta de obter o escalar \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H}) é usar o determinante 3×3 formado pelas componentes de \mathbf{F},\mathbf{G},\mathbf{H}. Essa quantidade é chamada de produto misto (ou triplo escalar) e satisfaz:
    \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H})=\det \begin{pmatrix} F_1 & F_2 & F_3\\[4pt] G_1 & G_2 & G_3\\[4pt] H_1 & H_2 & H_3 \end{pmatrix},
    onde F_1,F_2,F_3 são as componentes de \mathbf{F} (e análogo para \mathbf{G},\mathbf{H}).
  • Vou usar essa fórmula porque evita calcular \mathbf{G}\times\mathbf{H} explicitamente antes de fazer o produto escalar; é direto e costuma ser mais rápido em provas.]

Passo 3

Montar o determinante com as componentes dadas:
  • As componentes são: \mathbf{F}(t)=\bigl(F_1,F_2,F_3\bigr)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\ t\bigr),
\mathbf{G}(t)=\bigl(G_1,G_2,G_3\bigr)=\bigl(t,\\ t^{2},\\ t^{3}\bigr),
\mathbf{H}(t)=\bigl(H_1,H_2,H_3\bigr)=\bigl(t,\\ t+1,\\ t+2\bigr).
  • Então: \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H})= \det \begin{pmatrix} \cos t & \sin t & t\\[4pt] t & t^{2} & t^{3}\\[4pt] t & t+1 & t+2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de forma organizada (expansão por cofatores após simplificação por operação entre linhas):
  • Faço a operação de linha R_3\leftarrow R_3-R_2 (isso não muda o valor do determinante), obtendo
    \det \begin{pmatrix} \cos t & \sin t & t\\[4pt] t & t^{2} & t^{3}\\[4pt] 0 & t+1-t^{2} & t+2-t^{3} \end{pmatrix}.
  • Desenvolvo o determinante pela terceira linha (aproveitando o zero em posição (3,1)):
    \begin{split} \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H}) &= (t+2-t^{3})\det\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt] t & t^{2}\end{pmatrix} - (t+1-t^{2})\det\begin{pmatrix}\cos t & t\\[4pt] t & t^{3}\end{pmatrix}. \end{split}
  • Calculo cada menor:
    \det\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt] t & t^{2}\end{pmatrix} = t^{2}\cos t - t\sin t,
\det\begin{pmatrix}\cos t & t\\[4pt] t & t^{3}\end{pmatrix} = t^{3}\cos t - t^{2}.]

Passo 5

Substituo os menores e simplifico passo a passo:
  • Substituindo na expressão do passo anterior:
    \begin{split} \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H}) &= (t+2-t^{3})\bigl(t^{2}\cos t - t\sin t\bigr) - (t+1-t^{2})\bigl(t^{3}\cos t - t^{2}\bigr). \end{split}
  • Agora distribuo e agrup o que é multiplicado por \cos t, por \sin t e os termos puramente polinomiais:
    \begin{split} \mathbf{F}\cdot(\mathbf{G}\times\mathbf{H}) &= \bigl(2t^{2}-t^{4}\bigr)\cos t +\bigl(t^{4}-t^{2}-2t\bigr)\sin t -t^{4}+t^{3}+t^{2}. \end{split}
  • (Se quiser ver a factorização parcial: o termo com \cos t é t^{2}(2-t^{2}), o termo puramente polinomial é t^{2}(-t^{2}+t+1), e o termo com \sin t tem fator t em comum: t(t^{3}-t-2).)

Resposta

\mathbf{F}(t)\cdot\bigl(\mathbf{G}(t)\times\mathbf{H}(t)\bigr) =(2t^{2}-t^{4})\cos t+(t^{4}-t^{2}-2t)\sin t-t^{4}+t^{3}+t^{2}

Exercícios relacionados