Considere as funções vetoriais definidas por:
Calcule a seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado dá três funções vetoriais e pede o produto escalar de
com o produto vetorial
. Vou listar o que foi fornecido e exatamente o que é pedido.
-
Funções vetoriais (peguei estas do enunciado):
-
. -
. -
.
-
-
O que pedir: calcular
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática e passo-a-passo):
-
O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e . A forma direta de obter o escalar é usar o determinante 3×3 formado pelas componentes de . Essa quantidade é chamada de produto misto (ou triplo escalar) e satisfaz: onde são as componentes de (e análogo para ). -
Vou usar essa fórmula porque evita calcular
explicitamente antes de fazer o produto escalar; é direto e costuma ser mais rápido em provas.]
Passo 3
Montar o determinante com as componentes dadas:
- As componentes são:
- Então:
]
Passo 4
Calcular o determinante de forma organizada (expansão por cofatores após simplificação por operação entre linhas):
-
Faço a operação de linha
(isso não muda o valor do determinante), obtendo -
Desenvolvo o determinante pela terceira linha (aproveitando o zero em posição (3,1)):
-
Calculo cada menor:
Passo 5
Substituo os menores e simplifico passo a passo:
-
Substituindo na expressão do passo anterior:
-
Agora distribuo e agrup o que é multiplicado por
, por e os termos puramente polinomiais: -
(Se quiser ver a factorização parcial: o termo com
é , o termo puramente polinomial é , e o termo com tem fator em comum: .)