Esboce a imagem das seguintes funções vetoriais no plano cartesiano. Identifique o sentido de percurso da curva conforme o parâmetro
aumenta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a imagem da função vetorial e identificar o sentido do percurso quando o parâmetro
aumenta. A função dada é
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A componente
é . - A componente
é . - Não foi restringido o domínio de
, portanto assumir (todos os reais).
O próximo passo é transformar essa informação em uma curva no plano e depois estudar como ela é percorrida conformecresce.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para ver a forma da curva no plano.
Como a segunda componente é , podemos expressar
em função de
:
Como a segunda componente é
Substituindo na primeira componente
obtemos
Portanto a imagem da curva é dada pela equação cartesiana
Explicando o que isso significa: a equação
descreve uma parábola com vértice em
que se abre para a direita (porque
cresce com
e nunca fica negativa). Essa parábola é simétrica em relação ao eixo
(ou seja, trocar
por
não muda
).
Passo 3
Vamos calcular alguns pontos para visualizar e marcar no esboço (pegando valores concretos de
):
Dica prática para esboçar: desenhe os eixos
e
, marque os pontos acima e ligue-os suavemente formando a parábola
. Lembre-se que para
positivo e negativo os
são iguais e positivos (simetria). Coloque setas na curva para indicar o sentido conforme
varia (isso veremos no próximo passo).
Passo 4
Identificar o sentido de percurso usando a dependência de
.
Como , quando
aumenta,
aumenta. Observe o que acontece em
:
Como
- Para
: é negativo e é positivo; conforme aumenta (por exemplo de para para ) o ponto sobe pela “ramificação inferior” da parábola em direção ao vértice . - Em
: o ponto está no vértice . - Para
: é positivo e conforme aumenta (por exemplo de para para ) o ponto sobe pela “ramificação superior” da parábola e vai para a direita.
Outro modo de ver o sentido é calcular o vetor tangente
Alguns exemplos:
Isso confirma que, ao passar por um ponto com
, o movimento vai para cima e para a esquerda em direção ao vértice; ao passar por
, vai para cima e para a direita saindo do vértice. Em termos gerais: conforme
aumenta de
para
, a trajetória vem do ramo inferior-direito (grandes
,
negativo), aproxima-se do vértice
quando
, e segue para o ramo superior-direito (grandes
,
positivo).
Passo 5
Observações úteis para a prova e para desenhar rápido:
- A curva é a parábola
com vértice em e abertura para a direita. - A parametrização é regular (suavemente percorrida) porque
nunca é o vetor nulo (o segundo componente é sempre). - Ao esboçar: marque o vértice
, desenhe a curva simétrica em relação ao eixo , coloque setas indicando a direção começando no ramo inferior direito (para ) passando por em e seguindo para o ramo superior direito (para ). Exemplos de sequência de pontos com setas: .
Resposta
A imagem é a parábola
(vértice em
, abre para a direita).
Sentido de percurso: conforme aumenta, o ponto percorre a parábola vindo do ramo inferior-direito (
), passa por
quando
e segue para o ramo superior-direito (
).
Sentido de percurso: conforme