Esboce a imagem das seguintes funções vetoriais no plano cartesiano. Identifique o sentido de percurso da curva conforme o parâmetro t aumenta.
F(t)=\left(t^{2}, t\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a imagem da função vetorial e identificar o sentido do percurso quando o parâmetro t aumenta. A função dada é
F(t)=\big(t^{2},\,t\big).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A componente x é x=t^{2}.
  • A componente y é y=t.
  • Não foi restringido o domínio de t, portanto assumir t\in\mathbb{R} (todos os reais).
    O próximo passo é transformar essa informação em uma curva no plano e depois estudar como ela é percorrida conforme t cresce.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para ver a forma da curva no plano.
Como a segunda componente é y=t, podemos expressar t em função de y:
t=y.
Substituindo na primeira componente x=t^{2} obtemos
x=y^{2}.
Portanto a imagem da curva é dada pela equação cartesiana
x=y^{2}.
Explicando o que isso significa: a equação \,x=y^{2}\, descreve uma parábola com vértice em (0,0) que se abre para a direita (porque x cresce com y^{2} e nunca fica negativa). Essa parábola é simétrica em relação ao eixo x (ou seja, trocar y por -y não muda x).

Passo 3

Vamos calcular alguns pontos para visualizar e marcar no esboço (pegando valores concretos de t):
\begin{aligned} t=-2 &\Rightarrow F(-2)=(4,\,-2),\\\ t=-1 &\Rightarrow F(-1)=(1,\,-1),\\\ t=0 &\Rightarrow F(0)=(0,\,0),\\\ t=1 &\Rightarrow F(1)=(1,\,1),\\\ t=2 &\Rightarrow F(2)=(4,\,2). \end{aligned}
Dica prática para esboçar: desenhe os eixos x e y, marque os pontos acima e ligue-os suavemente formando a parábola \,x=y^{2}. Lembre-se que para y positivo e negativo os x são iguais e positivos (simetria). Coloque setas na curva para indicar o sentido conforme t varia (isso veremos no próximo passo).

Passo 4

Identificar o sentido de percurso usando a dependência de t.
Como y=t, quando t aumenta, y aumenta. Observe o que acontece em x=t^{2}:
  • Para t<0: y é negativo e x é positivo; conforme t aumenta (por exemplo de -2 para -1 para 0) o ponto sobe pela “ramificação inferior” da parábola em direção ao vértice (0,0).
  • Em t=0: o ponto está no vértice (0,0).
  • Para t>0: y é positivo e conforme t aumenta (por exemplo de 0 para 1 para 2) o ponto sobe pela “ramificação superior” da parábola e vai para a direita.
Outro modo de ver o sentido é calcular o vetor tangente
F'(t)=\big(2t,\,1\big).
Alguns exemplos:
F'(-1)=(-2,\,1)\\ \text{ (aponta para a esquerda e cima)},\qquad F'(0)=(0,\,1)\\ \text{ (vertical para cima)},\qquad F'(1)=(2,\,1)\\ \text{ (direita e cima)}.
Isso confirma que, ao passar por um ponto com t<0, o movimento vai para cima e para a esquerda em direção ao vértice; ao passar por t>0, vai para cima e para a direita saindo do vértice. Em termos gerais: conforme t aumenta de -\infty para +\infty, a trajetória vem do ramo inferior-direito (grandes x, y negativo), aproxima-se do vértice (0,0) quando t\to0, e segue para o ramo superior-direito (grandes x, y positivo).

Passo 5

Observações úteis para a prova e para desenhar rápido:
  • A curva é a parábola \,x=y^{2}\, com vértice em (0,0) e abertura para a direita.
  • A parametrização é regular (suavemente percorrida) porque F'(t)=(2t,1) nunca é o vetor nulo (o segundo componente é 1 sempre).
  • Ao esboçar: marque o vértice (0,0), desenhe a curva simétrica em relação ao eixo x, coloque setas indicando a direção começando no ramo inferior direito (para t\to -\infty) passando por (0,0) em t=0 e seguindo para o ramo superior direito (para t\to+\infty). Exemplos de sequência de pontos com setas: (4,-2)\to(1,-1)\to(0,0)\to(1,1)\to(4,2).

Resposta

A imagem é a parábola x=y^{2} (vértice em (0,0), abre para a direita).
Sentido de percurso: conforme t aumenta, o ponto percorre a parábola vindo do ramo inferior-direito ( t\to-\infty), passa por (0,0) quando t=0 e segue para o ramo superior-direito ( t\to+\infty).

Exercícios relacionados