Determine o domínio máximo (conjunto de todos os valores resis de t para os quais a função estầ bem definida) da seguinte função vetorial:
F(t)=\left(\frac{t}{t-1}, \sqrt{2-t^{2}}, \frac{1}{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio máximo (todos os valores reais de t para os quais a função vetorial está bem definida) da função
F(t)=\left(\frac{t}{t-1},\; \sqrt{2-t^{2}},\; \frac{1}{t}\right).
Informações dadas relevantes:
  • A função é vetorial com três componentes reais dependentes de t.
  • Deve-se considerar t real (domínio em \mathbb{R}).
  • A função está bem definida apenas quando todas as três componentes estão definidas simultaneamente.

Passo 2

Condição da primeira componente \dfrac{t}{t-1}.
Para uma fração \dfrac{a}{b} ser definida é necessário que o denominador não seja zero. Aqui o denominador é t-1, logo exigimos
t-1 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad t \neq 1.
Portanto t=1 não pertence ao domínio por tornar a primeira componente indefinida.

Passo 3

Condição da terceira componente \dfrac{1}{t}.
Novamente trata-se de uma fração; o denominador t não pode ser zero. Logo exigimos
t \neq 0.
Portanto t=0 também não pertence ao domínio.

Passo 4

Condição da segunda componente \sqrt{2-t^{2}}.
A raiz quadrada de um número real está definida (em números reais) somente quando o radicando é não negativo. Assim exigimos
2 - t^{2} \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade: reescreve-se como t^{2} \le 2. Tomando raiz quadrada (lembrando que há duas soluções, positiva e negativa), obtemos
-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}.
Isso significa que a segunda componente exige que t esteja no intervalo fechado \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right].

Passo 5

Interseção das condições (domínio da função vetorial).
O domínio total é a interseção dos conjuntos onde cada componente está definida. Portanto combinamos:
  • da segunda componente: t \in \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right];
  • da primeira: t \neq 1;
  • da terceira: t \neq 0.
Interseccionando tudo, obtemos o conjunto de t que satisfazem simultaneamente:
t \in \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\quad\text{e}\quad t\neq 0,\; t\neq 1.
Como 0 e 1 estão dentro do intervalo \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right], eles precisam ser excluídos. Escrevendo como união de intervalos:
\left[-\sqrt{2},0\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right].

Passo 6

Verificações rápidas (para ficar seguro):
  • t=0 falha porque \dfrac{1}{t} não existe.
  • t=1 falha porque \dfrac{t}{t-1} tem denominador zero.
  • t=\pm\sqrt{2} são permitidos porque em \sqrt{2-t^{2}} o radicando fica zero (raiz definida) e as frações têm denominadores diferentes de zero nesses pontos.

Resposta

\left[-\sqrt{2},0\right)\cup\left(0,1\right)\cup\left(1,\sqrt{2}\right]

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