Determine o domínio máximo (conjunto de todos os valores resis de
para os quais a função estầ bem definida) da seguinte função vetorial:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio máximo (todos os valores reais de
para os quais a função vetorial está bem definida) da função
Informações dadas relevantes:
- A função é vetorial com três componentes reais dependentes de
. - Deve-se considerar
real (domínio em ). - A função está bem definida apenas quando todas as três componentes estão definidas simultaneamente.
Passo 2
Condição da primeira componente
.
Para uma fração
ser definida é necessário que o denominador não seja zero. Aqui o denominador é
, logo exigimos
Portanto
não pertence ao domínio por tornar a primeira componente indefinida.
Passo 3
Condição da terceira componente
.
Novamente trata-se de uma fração; o denominador
não pode ser zero. Logo exigimos
Portanto
também não pertence ao domínio.
Passo 4
Condição da segunda componente
.
A raiz quadrada de um número real está definida (em números reais) somente quando o radicando é não negativo. Assim exigimos
Resolvendo essa desigualdade: reescreve-se como
. Tomando raiz quadrada (lembrando que há duas soluções, positiva e negativa), obtemos
Isso significa que a segunda componente exige que
esteja no intervalo fechado
.
Passo 5
Interseção das condições (domínio da função vetorial).
O domínio total é a interseção dos conjuntos onde cada componente está definida. Portanto combinamos:
- da segunda componente:
; - da primeira:
; - da terceira:
.
Interseccionando tudo, obtemos o conjunto de
que satisfazem simultaneamente:
Como
e
estão dentro do intervalo
, eles precisam ser excluídos. Escrevendo como união de intervalos:
Passo 6
Verificações rápidas (para ficar seguro):
-
falha porque não existe. -
falha porque tem denominador zero. -
são permitidos porque em o radicando fica zero (raiz definida) e as frações têm denominadores diferentes de zero nesses pontos.