Esboce o gráfico da função , onde . Existe G^prime(1) ?
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
G(x) = integral-1^x f(t),dt,
onde
f(t) = t^2, & -1 <= t <= 1, 2, & t >= 1
Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter uma expressão explícita de G(x) em cada intervalo, observar continuidade em x=1 e depois analisar as derivadas laterais em x=1.
O gráfico de G é dado por:
– para -1 <= x <= 1, o polinômio cúbico tfracx^33 + tfrac13, que parte de (-1,0) e chega a (1,tfrac23), sendo côncavo para x<0 e convexo para x>0;
– para x >= 1, a reta de coeficiente angular 2 que passa em (1,tfrac23).
O gráfico é contínuo em x=1, mas muda de inclinação.
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, G'(x)=f(x) sempre que f for contínua. Aqui há descontinuidade de f em x=1, pois
f(1^-) = 1^2 = 1, f(1^+) = 2
Logo
G'(1^-) = 1, G'(1^+) = 2,
e não existe derivada única em x=1.
Resposta
O gráfico de G é formado por um ramo cúbico x^33+13 em [-1,1] e uma reta 2x-43 para x>=1, contínuos em (1,tfrac23). Em x=1, G' não existe porque as derivadas laterais são diferentes.