1. Esboce o gráfico da função G(x)=integral-1^x f(t) d t, onde f(t)=llx^2, & se -1 <= x <= 1 2, & se x >= 1. Existe G^prime(1) ?

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
G(x) = integral-1^x f(t),dt,
onde
f(t) = t^2, & -1 <= t <= 1, 2, & t >= 1
Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter uma expressão explícita de G(x) em cada intervalo, observar continuidade em x=1 e depois analisar as derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Para -1 <= x <= 1,
G(x) = integral-1^x t^2,dt
Integrando, temos
integral-1^x t^2,dt = [t^33]-1^x = x^33 - (-1)^33 = x^33 + 13
Logo,
G(x) = x^33 + 13, -1 <= x <= 1

Passo 3

Para x >= 1, escrevemos
G(x) = integral-1^1 f(t),dt + integral1^x f(t),dt
Já sabemos
integral-1^1 t^2,dt = G(1) = 1^33 + 13 = 23,
e
integral1^x 2,dt = 2(x-1)
Assim
G(x) = 23 + 2(x-1) = 2x - 43, x >= 1

Passo 4

O gráfico de G é dado por:
– para -1 <= x <= 1, o polinômio cúbico tfracx^33 + tfrac13, que parte de (-1,0) e chega a (1,tfrac23), sendo côncavo para x<0 e convexo para x>0;
– para x >= 1, a reta de coeficiente angular 2 que passa em (1,tfrac23).
O gráfico é contínuo em x=1, mas muda de inclinação.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, G'(x)=f(x) sempre que f for contínua. Aqui há descontinuidade de f em x=1, pois
f(1^-) = 1^2 = 1, f(1^+) = 2
Logo
G'(1^-) = 1, G'(1^+) = 2,
e não existe derivada única em x=1.

Resposta

O gráfico de G é formado por um ramo cúbico x^33+13 em [-1,1] e uma reta 2x-43 para x>=1, contínuos em (1,tfrac23). Em x=1, G' não existe porque as derivadas laterais são diferentes.

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