Considere as funções
e
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Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(1) A função
possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(1) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $. O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais, e pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como usar a matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2):
Agora, substituímos esses valores de $ x $ na equação (1) para encontrar $ y $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -3 $:
Então, os pontos críticos são $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $.
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Avaliando a matriz Hessiana nos pontos críticos:
Para $ (3, \frac{3}{2}) $:
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (3, \frac{3}{2}) $ é um ponto de sela.
Para $ (-3, -\frac{3}{2}) $:
O determinante da Hessiana é:
Novamente, $ D < 0 $, então o ponto $ (-3, -\frac{3}{2}) $ também é um ponto de sela.
Passo 4
Agora, revisando a afirmação:
(1) A função $ f $ possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.
Com base no que calculamos, a função $ f $ tem dois pontos de sela $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $, e nenhum ponto de mínimo local foi encontrado.
Portanto, a afirmação de que existe um ponto de mínimo local está incorreta.
Resposta
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