Considere as funções
f(x, y)=x^3-3 x^2 y+27 y
e
g(x, y)=x^2-4 x y+4 y^2-x+3 y+1
e
h(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y
Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(1) A função f possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} - 3x^{2}y + 27y $. O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais, e pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como usar a matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
f(x, y)
x
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 6xy
Da equação (2):
fy = partial fpartial y = -3x^2 + 27
Agora, substituímos esses valores de $ x $ na equação (1) para encontrar $ y $:
Para $ x = 3 $:
3x^2 - 6xy = 0 (1)
Para $ x = -3 $:
-3x^2 + 27 = 0 (2)
Então, os pontos críticos são $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $.

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
H = fxx & fxy fyx & fyy
Calculando as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x - 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
Avaliando a matriz Hessiana nos pontos críticos:
Para $ (3, \frac{3}{2}) $:
(3, 32)
fxx = 6(3) - 6(32) = 18 - 9 = 9
fxy = -6(3) = -18
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
fyy = 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (3, \frac{3}{2}) $ é um ponto de sela.
Para $ (-3, -\frac{3}{2}) $:
D
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (9)(0) - (-18)^2 = -324
D < 0
O determinante da Hessiana é:
(3, 32)
Novamente, $ D < 0 $, então o ponto $ (-3, -\frac{3}{2}) $ também é um ponto de sela.

Passo 4

Agora, revisando a afirmação:
(1) A função $ f $ possui dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.
Com base no que calculamos, a função $ f $ tem dois pontos de sela $ (3, \frac{3}{2}) $ e $ (-3, -\frac{3}{2}) $, e nenhum ponto de mínimo local foi encontrado.
Portanto, a afirmação de que existe um ponto de mínimo local está incorreta.

Resposta

0

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