Considere as funções
e
e
Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(8) A função
e
possui a mesma quantidade de pontos de sela.
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(8) A função
Passo 1
Resumo da questão: temos as funções f(x,y) = x³ – 3x²y + 27y e h(x,y) = x⁵ + y⁵ – 5x – 5y. O conteúdo é encontrar pontos críticos e classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o gradiente e a matriz Hessiana.
Passo 2
Para f(x,y): calculamos o gradiente e achamos os pontos em que ele zera.
As derivadas parciais são:
Impondo
dá:
e
. Da segunda vem
, logo
. Substituindo na primeira (não é possível ter
), obtemos
. Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Para f(x,y): montamos a Hessiana e classificamos cada ponto.
A Hessiana é
Em
:
,
,
⇒ det =
⇒ ponto de sela.
Em
:
,
,
⇒ det =
⇒ ponto de sela.
Passo 4
Para h(x,y): calculamos o gradiente e achamos os pontos críticos.
As derivadas são:
Zerando cada componente dá
e
, logo
e
. Temos 4 pontos críticos:
.
Passo 5
Para h(x,y): montamos a Hessiana e classificamos cada ponto.
A Hessiana é diagonal:
Em
: autovalores
⇒ mínimo; em
:
⇒ máximo; em
e
: sinais opostos ⇒ sela (2 pontos de sela).
Passo 6
Comparação: f tem 2 pontos de sela e h também tem 2. Logo a afirmação do item (8) é verdadeira.
Resposta
8