Considere as funções
f(x, y)=x^3-3 x^2 y+27 y
e
g(x, y)=x^2-4 x y+4 y^2-x+3 y+1
e
h(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y
Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(8) A função f e h possui a mesma quantidade de pontos de sela.

Passo 1

Resumo da questão: temos as funções f(x,y) = x³ – 3x²y + 27y e h(x,y) = x⁵ + y⁵ – 5x – 5y. O conteúdo é encontrar pontos críticos e classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o gradiente e a matriz Hessiana.

Passo 2

Para f(x,y): calculamos o gradiente e achamos os pontos em que ele zera.
As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 3x^2 - 6xy, partial fpartial y = -3x^2 + 27
Impondo nabla f = 0 dá:
3x(x - 2y)=0 e -3x^2+27=0. Da segunda vem x^2=9, logo x=pm3. Substituindo na primeira (não é possível ter x=0), obtemos y = x/2. Assim os pontos críticos são
(3,1.5) e (-3,-1.5).

Passo 3

Para f(x,y): montamos a Hessiana e classificamos cada ponto.
A Hessiana é
Hf = 6x - 6y & -6x -6x & 0
Em (3,1.5): Hxx=9, Hxy=-18, Hyy=0 ⇒ det = 9·0 - (-18)^2 = -324<0 ⇒ ponto de sela.
Em (-3,-1.5): Hxx=-9, Hxy=18, Hyy=0 ⇒ det = -9)·0 - 18^2 = -324<0 ⇒ ponto de sela.

Passo 4

Para h(x,y): calculamos o gradiente e achamos os pontos críticos.
As derivadas são:
nabla h = l(5(x^4-1),;5(y^4-1)r)
Zerando cada componente dá x^4=1 e y^4=1, logo x=pm1 e y=pm1. Temos 4 pontos críticos:
(1,1),,(1,-1),,(-1,1),,(-1,-1).

Passo 5

Para h(x,y): montamos a Hessiana e classificamos cada ponto.
A Hessiana é diagonal:
Hh = 20x^3 & 0 0 & 20y^3
Em (1,1): autovalores +20,+20 ⇒ mínimo; em (-1,-1): -20,-20 ⇒ máximo; em (1,-1) e (-1,1): sinais opostos ⇒ sela (2 pontos de sela).

Passo 6

Comparação: f tem 2 pontos de sela e h também tem 2. Logo a afirmação do item (8) é verdadeira.

Resposta

8

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