Considere as funções
f(x, y)=x^3-3 x^2 y+27 y
e
g(x, y)=x^2-4 x y+4 y^2-x+3 y+1
e
h(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y
Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(16) O ponto (1,1) é um ponto de mínimo local da função h.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto (1,1) é um mínimo local da função h(x,y)=x5+y5−5x−5y. O conteúdo aqui é classificação de pontos críticos via gradiente e teste da segunda derivada (Hessiana). Vamos precisar calcular o gradiente de h, achar os pontos críticos, montar a matriz Hessiana e avaliar sua definiteness em (1,1).

Passo 2

Calculamos o gradiente de h. Para isso usamos derivadas parciais:
partial hpartial x=5x^4-5,
partial hpartial y=5y^4-5

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos. De 5x^4-5=0 vem x^4=1 e então x=pm1. Do mesmo modo y^4=1 leva a y=pm1. Logo, os pontos críticos são (1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1).

Passo 4

Montamos a matriz Hessiana de h, cujos elementos são segundas derivadas:
H(h)= partial^2hpartial x^2 & partial^2hpartial xpartial y partial^2hpartial ypartial x & partial^2hpartial y^2 =20x^3 & 00 & 20y^3

Passo 5

Agora avaliamos em (1,1): temos H(h)vert(1,1)=20&00&20. O determinante é D=20cdot20-0=400>0 e o elemento hxx=20>0, indicando que a Hessiana é definida positiva naquele ponto. Portanto (1,1) é ponto de mínimo local de h.

Passo 6

Como o enunciado afirmava que (1,1) é ponto de mínimo local de h e nossa análise confirma, esse item é correto.

Resposta

16

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