Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(16) O ponto é um ponto de mínimo local da função .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o ponto (1,1) é um mínimo local da função h(x,y)=x5+y5−5x−5y. O conteúdo aqui é classificação de pontos críticos via gradiente e teste da segunda derivada (Hessiana). Vamos precisar calcular o gradiente de h, achar os pontos críticos, montar a matriz Hessiana e avaliar sua definiteness em (1,1).
Passo 2
Calculamos o gradiente de h. Para isso usamos derivadas parciais:
Passo 3
Igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos. De vem e então . Do mesmo modo leva a . Logo, os pontos críticos são (1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1).
Passo 4
Montamos a matriz Hessiana de h, cujos elementos são segundas derivadas:
Passo 5
Agora avaliamos em (1,1): temos . O determinante é D=20cdot20-0=400>0 e o elemento hxx=20>0, indicando que a Hessiana é definida positiva naquele ponto. Portanto (1,1) é ponto de mínimo local de h.
Passo 6
Como o enunciado afirmava que (1,1) é ponto de mínimo local de h e nossa análise confirma, esse item é correto.