Considere as funções
f(x, y)=x^3-3 x^2 y+27 y
e
g(x, y)=x^2-4 x y+4 y^2-x+3 y+1
e
h(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y
Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(32) As funções f e g possuem a mesma quantidade de pontos de máximo locais.

Passo 1

O enunciado pede pra comparar o número de máximos locais das funções f e g, então vamos achar todos os pontos críticos de cada uma e classificá-los usando o Hessiano.

Passo 2

Para f(x,y)=x3−3x2y+27y calculamos as derivadas parciais: fx=3x^2−6xy=3x(x−2y) e fy=−3x^2+27. Igualando a zero vem 3x(x−2y)=0 e −3x^2+27=0, de onde x^2=9 e y=x/2. Então os únicos críticos são (3,3/2) e (−3,−3/2).

Passo 3

O Hessiano de f é
Hf=fxx&fxyfyx&fyy=6x−6y&-6x-6x&0 Avaliando em (3,3/2) e (−3,−3/2) obtemos determinante D= f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})^2<0, logo ambos são pontos de sela e não há máximos locais.

Passo 4

Para g(x,y)=x2−4xy+4y2−x+3y+1 temos
gx=2x−4y−1, gy=-4x+8y+3
Resolvendo g_x=0 e g_y=0 não há solução (o sistema é inconsistente), ou seja, não existem pontos críticos isolados.

Passo 5

O Hessiano de g é
Hg=2&-4-4&8 cujo determinante é zero (matriz semi-definida positiva). Assim, não há máximos locais isolados em g.

Passo 6

Como em f o número de máximos locais é 0 e em g também é 0, elas possuem a mesma quantidade de máximos locais, portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

32

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