Calcule as integrais
integral x sen(x) cos (x)5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de xsin(x)cos(x)5,dx. O conteúdo principal aqui é integração de produto polinomial e funções trigonométricas, então vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante fora da integral e usamos a identidade sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x). Assim temos:
integral xsin(x)cos(x)5,dx = 15integral xsin(x)cos(x),dx = 15integral xcdot 12sin(2x),dx = 110integral xsin(2x),dx

Passo 3

Agora vamos resolver integral xsin(2x),dx por partes. Escolhemos:
u = x assim du = dx, e
dv = sin(2x),dx assim v = -tfrac12cos(2x).
Pela fórmula de integração por partes integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos:
integral xsin(2x),dx = xl(-tfrac12cos(2x)r) - integral l(-tfrac12cos(2x)r),dx

Passo 4

Calculando a integral que sobra:
integral xsin(2x),dx = -xcos(2x)2 + 12integral cos(2x),dx = -xcos(2x)2 + 12cdot 12sin(2x) = -xcos(2x)2 + sin(2x)4
Voltando ao fator tfrac110 que tínhamos tirado fora, a integral original fica:

Passo 5

Multiplicando tudo por tfrac110 e acrescentando a constante de integração, o resultado final é:
-xcos(2x)20 + sin(2x)40 + C
Esse é o valor da integral pedida.

Resposta

-\frac{x\cos(2x)}{20} + \frac{\sin(2x)}{40} + C

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