Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa. (a) Se utilizarmos a equação da continuidade para carga como nosso modelo, quais quantidades correspondem a
e
? (b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são
e
. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume,
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que está pedindo nessa questão. A gente precisa falar sobre a equação da continuidade para a massa, que é uma forma de garantir que a massa não se cria nem se anula em um sistema. A questão tem duas partes:
(a) Usar a equação da continuidade para carga como modelo e identificar quais são os equivalentes de
(denso de corrente) e
(densidade de carga) nesse contexto de massa.
(b) Analisar as taxas de saída de massa de um cubo de 1 cm de lado, considerando as diferentes taxas em cada face do cubo.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Fazendo a analogia com a equação da continuidade para carga
Primeiro, a equação da continuidade para carga elétrica é:
Aqui,
é a densidade de corrente elétrica e
é a densidade de carga elétrica.
Agora, queremos adaptar isso para a continuidade de massa, onde não há transformação de massa em energia ou vice-versa. A equação da continuidade para massa é similar:
Onde:
-
é a densidade de fluxo de massa (equivalente a na equação de carga). -
é a densidade de massa (equivalente a na equação de carga).
Então:
-
: Densidade de fluxo de massa ( ) -
: Densidade de massa ( )
Passo 3
Parte (b): Calculando a continuidade da massa no cubo
Vamos considerar as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces do cubo. As taxas são dadas em mg/s:
- Face 1: 10,25 mg/s
- Face 2: -9,85 mg/s
- Face 3: 1,75 mg/s
- Face 4: -2,00 mg/s
- Face 5: -4,05 mg/s
- Face 6: 4,55 mg/s
Primeiro, vamos entender que taxas positivas indicam massa saindo do cubo, e negativas indicam massa entrando.
A equação da continuidade para um elemento de volume (no caso, o cubo) é:
Como estamos considerando um elemento incremental de volume e não há acúmulo de massa, a soma das taxas de saída deve ser igual a zero.
Vamos somar todas as taxas:
Calculando:
No entanto, para que a continuação seja válida sem acúmulo de massa, a soma deveria ser zero. A pequena diferença pode ser devido a erros experimentais ou arredondamentos nos valores.
Resposta
As quantidades correspondentes são
como a densidade de fluxo de massa (
) e
como a densidade de massa (
). Além disso, a soma das taxas de saída de massa do cubo é aproximadamente
.