Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa. (a) Se utilizarmos a equação da continuidade para carga como nosso modelo, quais quantidades correspondem a J e rhov? (b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são 10,25,-9,85,1,75,-2,00,-4,05 e 4,55 mg / s. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume,

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que está pedindo nessa questão. A gente precisa falar sobre a equação da continuidade para a massa, que é uma forma de garantir que a massa não se cria nem se anula em um sistema. A questão tem duas partes:
(a) Usar a equação da continuidade para carga como modelo e identificar quais são os equivalentes de J (denso de corrente) e rhov (densidade de carga) nesse contexto de massa.
(b) Analisar as taxas de saída de massa de um cubo de 1 cm de lado, considerando as diferentes taxas em cada face do cubo.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Fazendo a analogia com a equação da continuidade para carga
Primeiro, a equação da continuidade para carga elétrica é:
nabla cdot J + partial rhovpartial t = 0
Aqui, J é a densidade de corrente elétrica e rhov é a densidade de carga elétrica.
Agora, queremos adaptar isso para a continuidade de massa, onde não há transformação de massa em energia ou vice-versa. A equação da continuidade para massa é similar:
nabla cdot Jm + partial rhompartial t = 0
Onde:
  • Jm é a densidade de fluxo de massa (equivalente a J na equação de carga).
  • rhom é a densidade de massa (equivalente a rhov na equação de carga).
Então:
  • J: Densidade de fluxo de massa ( Jm)
  • rhov: Densidade de massa ( rhom)

Passo 3

Parte (b): Calculando a continuidade da massa no cubo
Vamos considerar as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces do cubo. As taxas são dadas em mg/s:
  • Face 1: 10,25 mg/s
  • Face 2: -9,85 mg/s
  • Face 3: 1,75 mg/s
  • Face 4: -2,00 mg/s
  • Face 5: -4,05 mg/s
  • Face 6: 4,55 mg/s
Primeiro, vamos entender que taxas positivas indicam massa saindo do cubo, e negativas indicam massa entrando.
A equação da continuidade para um elemento de volume (no caso, o cubo) é:
partial rhompartial t + nabla cdot Jm = 0
Como estamos considerando um elemento incremental de volume e não há acúmulo de massa, a soma das taxas de saída deve ser igual a zero.
Vamos somar todas as taxas:
10,25 + (-9,85) + 1,75 + (-2,00) + (-4,05) + 4,55 = 0
Calculando:
10,25 - 9,85 = 0,40 0,40 + 1,75 = 2,15 2,15 - 2,00 = 0,15 0,15 - 4,05 = -3,90 -3,90 + 4,55 = 0,65 , mg/s
No entanto, para que a continuação seja válida sem acúmulo de massa, a soma deveria ser zero. A pequena diferença pode ser devido a erros experimentais ou arredondamentos nos valores.

Resposta

As quantidades correspondentes são J como a densidade de fluxo de massa ( Jm) e rhov como a densidade de massa ( rhom). Além disso, a soma das taxas de saída de massa do cubo é aproximadamente 0,65 , mg/s.

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