Considere g=9.8 m / s^2 em todos os problemas.
Um sistema massa-mola como indicado na Figura 3 possui um bloco com massa de 0.50 kg e uma mola com constante elástica de 50 N / m. O bloco é puxado para a direita de x=0 até uma posição xA, e então liberado a partir do repouso. Determine a velocidade vB do bloco quando ele passa pela posição xB, sendo que xA e xB são, respectivamente, iguais a 0.30 m e 0.05 m em relação ao ponto de equilíbrio, no qual a mola se encontra relaxada. Sendo que a massa é solta de x=xA com uma velocidade vA=0, qual será a velocidade do bloco vB quando x=xB?

Passo 1

Resumo do Problema:
Estamos lidando com um sistema massa-mola onde uma massa de 0,50 kg está conectada a uma mola com constante elástica de 50 N/m. A massa é puxada para a direita até uma posição $ x_A = 0,30 , m $ e, em seguida, liberada a partir do repouso ($ v_A = 0 $). Precisamos descobrir qual será a velocidade $ v_B $ da massa quando ela passar pela posição $ x_B = 0,05 , m $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação da energia mecânica.

Passo 2

Entendendo a Conservação da Energia Mecânica:
A energia mecânica total em um sistema conservativo (sem atrito ou outras forças dissipativas) permanece constante. Ela é composta pela energia cinética ($ E_k Ek á E_p $) da mola.
A fórmula geral da energia mecânica é:
Ep â
onde,
Emecânica = Ek + Ep

Passo 3

Aplicando a Conservação da Energia Entre $ x_A $ e $ x_B $:
No ponto $ x_A xA áãéé v_A = 0 $). Portanto, toda a energia mecânica naquele ponto é apenas a energia potencial da mola.
No ponto $ x_B $, a massa terá tanto energia potencial quanto energia cinética.
Assim, podemos escrever:
xB ââ
xA

Passo 4

Isolando $ v_B $ na Equação:
Queremos encontrar $ v_B $, então vamos reorganizar a equação para isolá-lo.
Primeiro, subtraímos $ \frac{1}{2} k x_B^2 $ de ambos os lados:
vB
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
vB
Agora, dividimos ambos os lados por $ m $:
12 k xB^2
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_B $:
12 k xA^2 - 12 k xB^2 = 12 m vB^2

Passo 5

Substituindo os Valores Conhecidos:
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
  • $ k = 50 , N/m $
  • $ x_A = 0,30 , m $
  • $ x_B = 0,05 , m $
  • $ m = 0,50 , kg $
k = 50 , N/m
Calculando dentro da raiz:
xA = 0,30 , m
xB = 0,05 , m
m = 0,50 , kg
vB = raiz 50 , N/m times (0,30^2 - 0,05^2) , m^20,50 , kg
vB = raiz 50 times (0,09 - 0,0025)0,50

Resposta

A velocidade do bloco quando ele passa pela posição $ x_B = 0,05 , m $ é aproximadamente 2,96 m/s.

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