Considere g(x)=x^4-4 x+1. Encontre a função f que satisfaz f^prime(x)=g^prime(x) e f(1)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=x^4-4x+1
e pede uma função f tal que
f'(x)=g'(x)
e ainda satisfaça a condição inicial f(1)=2.
O conteúdo envolvido é o de encontrar uma antiderivada (integração indefinida) e ajustar a constante usando a condição inicial.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de g. Como
g(x)=x^4-4x+1,
aplicando a regra do poder e a derivada de constante, temos
g'(x)=4x^3-4

Passo 3

Para obter f(x), integramos g'(x):
f(x)=integral g'(x),dx = integrall(4x^3-4r),dx = x^4-4x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição f(1)=2 para determinar C. Substituindo x=1 em
f(x)=x^4-4x + C
obtemos
f(1)=1^4-4cdot1 + C = 1-4 + C = -3 + C
De f(1)=2 segue
-3 + C = 2 Longrightarrow C = 5

Resposta

f(x)=x^4-4x+5

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