Seja f: R R uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:
(b) u(x, y)=f(a x+b y), onde a e b são constantes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
u(x,y)=f(ax+by),
onde fcolonRtoR é derivável e a,b são constantes.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Defina
v(x,y)=ax+by
Então u(x,y)=fl(v(x,y)r).
Pela regra da cadeia em derivadas parciais vale
partial upartial x(x,y) =f'l(v(x,y)r),partial vpartial x(x,y),
partial upartial y(x,y) =f'l(v(x,y)r),partial vpartial y(x,y)

Passo 3

Como v(x,y)=ax+by e a,b são constantes, temos
partial vpartial x(x,y)=a, partial vpartial y(x,y)=b

Passo 4

Substituindo esses resultados na regra da cadeia, obtemos
partial upartial x(x,y) =f'(ax+by),a, partial upartial y(x,y) =f'(ax+by),b

Resposta

partial upartial x(x,y)=a,f'(ax+by), partial upartial y(x,y)=b,f'(ax+by)

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