Considere \gamma uma curva dada pela interseção das seguintes superfícies S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=2-x^{2}-y^{2}\right\} e S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: y=x^{2}\right\} e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere z \geq 0.
(a) Parametrize a curva \gamma.
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=(2 x+4 x y, x, 1) ao longo da curva \gamma.
(c) Considere o segmento de reta R percorrido desde o ponto ( -1,1,0 ) até o ponto ( 1,1,0 ). Parametrize o segmento e calcule a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de R.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado dá duas superfícies:
    • S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: z=2-x^{2}-y^{2}\}.
    • S_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: y=x^{2}\}.
  • A curva \gamma é a interseção S_{1}\cap S_{2} com a condição adicional z\ge 0.
  • A curva \gamma é percorrida da esquerda para a direita “considerando a origem” — isto significa que a orientação é no sentido de x crescente (ou seja, do menor x para o maior x).
As perguntas são:
(a) Parametrizar a curva \gamma.
(b) Calcular a integral de linha do campo \vec{F}(x,y,z)=(2x+4xy,\;x,\;1) ao longo de \gamma com a orientação dada.
(c) Parametrizar o segmento de reta R de (-1,1,0) até (1,1,0) e calcular a integral de linha de \vec{F} sobre R.

Passo 2

Encontrar a equação da curva (interseção) e o intervalo do parâmetro.
A interseção exige que y=x^{2} (da S_{2}). Substituindo em S_{1} obtemos a relação para z:
z=2-x^{2}-y^{2}=2-x^{2}-(x^{2})^{2}=2-x^{2}-x^{4}.
Como foi imposta a condição z\ge 0, precisamos dos x tais que
2-x^{2}-x^{4}\ge 0.
Para resolver isso, faça u=x^{2}\ge 0. Então a desigualdade fica
2-u-u^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u^{2}+u-2\le 0.
A equação u^{2}+u-2=0 tem raízes u=1 e u=-2. Como u\ge 0, a região viável é 0\le u\le 1, ou seja 0\le x^{2}\le 1. Portanto
-1\le x\le 1.

Passo 3

Escolher uma parametrização natural e orientar da esquerda para a direita.
A escolha mais direta é usar t como a coordenada x. Assim uma parametrização candidata é
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;2-t^{2}-t^{4}\bigr),
com t variando em [-1,1]. Essa parametrização percorre a curva com x=t crescento quando t vai de -1 a 1, logo corresponde à orientação “da esquerda para a direita”. Isso responde (a).

Passo 4

Explicar o que é a integral de linha de um campo vetorial e preparar o cálculo.
Para um campo vetorial \vec{F} e uma curva parametrizada por \vec{r}(t), t\in[a,b], a integral de linha (no sentido da orientação dada) é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui cada termo significa:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • \vec{r}\,'(t) é a velocidade da parametrização (derivada componente a componente).
  • O produto escalar \cdot combina os componentes e o integral em t dá o trabalho/fluxo acumulado.
Vamos aplicar isso com a parametrização do Passo 3.

Passo 5

Calcular \vec{r}\,'(t) e \vec{F}(\vec{r}(t)), montar o integrando e integrar.
Derivando a parametrização:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;2t,\;-2t-4t^{3}\bigr).
Avaliar \vec{F} em \vec{r}(t). Lembrando \vec{F}(x,y,z)=(2x+4xy,\;x,\;1) e que ao longo da curva x=t,\;y=t^{2}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(2t+4t\cdot t^{2},\;t,\;1\bigr)=\bigl(2t+4t^{3},\;t,\;1\bigr).
Fazer o produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =(2t+4t^{3})\cdot 1 + t\cdot(2t) + 1\cdot(-2t-4t^{3}).
Agora simplificar termo a termo:
(2t+4t^{3}) + 2t^{2} + (-2t-4t^{3}) = 2t^{2}.
Observação amigável: muitos termos se cancelam — isso acontece com certa frequência em integrais de linha bem montadas, e simplifica bastante o cálculo.
Portanto a integral de linha na curva \gamma é
\int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt.
Calculemos:
\int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt = 2\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =2\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}\right) =2\left(\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right) =2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Assim respondemos (b): o valor da integral é \dfrac{4}{3}.

Passo 6

Parametrizar o segmento de reta R de (-1,1,0) até (1,1,0).
Uma parametrização linear (segmente) natural é tomar um parâmetro u\in[0,1] e fazer interpolação:
\vec{s}(u)=(-1,1,0)+u\bigl((1,1,0)-(-1,1,0)\bigr)=(-1+2u,\;1,\;0),\qquad u\in[0,1].
Alternativamente, pode-se usar t\in[-1,1] com \vec{s}(t)=(t,1,0) — ambas são equivalentes. Vou usar t\in[-1,1] por ser mais compacto na integração (faz x=t diretamente):
\vec{s}(t)=\bigl(t,\;1,\;0\bigr),\qquad t\in[-1,1].

Passo 7

Calcular a integral de linha de \vec{F} sobre R.
Derivada da parametrização:
\vec{s}\,'(t)=(1,\;0,\;0).
Avaliar \vec{F} ao longo de R: como y=1 e z=0, com x=t,
\vec{F}(\vec{s}(t))=\bigl(2t+4t\cdot 1,\;t,\;1\bigr)=\bigl(6t,\;t,\;1\bigr).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{s}(t))\cdot\vec{s}\,'(t)=6t\cdot 1 + t\cdot 0 + 1\cdot 0 = 6t.
Integrando em t de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}6t\,dt = 6\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=3\bigl(1-1\bigr)=0.
Portanto a integral de linha de \vec{F} ao longo de R é 0.

Passo 8

Pequeno comentário motivador e verificação rápida.
  • Na parte (b) a parametrização natural levou a um integrando simples 2t^{2} e uma integral ímpar-simétrica deu um valor positivo \tfrac{4}{3}.
  • Na parte (c) o integrando foi uma função ímpar 6t integrada simetricamente de -1 a 1, resultando em zero — intuivamente o “trabalho” de ida cancela o de volta pelo simetria.
Força aí — deu pra ver que com a escolha certa do parâmetro as contas ficam bem lisinhas!

Resposta

(a) \vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;2-t^{2}-t^{4}\bigr),\quad t\in[-1,1]
(b) \dfrac{4}{3}
(c) \vec{s}(t)=(t,\;1,\;0),\quad t\in[-1,1] e a integral ao longo de R é 0

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