Considere
uma curva dada pela interseção das seguintes superfícies
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere
.
(a) Parametrize a curva
.
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial
dado por
ao longo da curva
.
(c) Considere o segmento de reta
percorrido desde o ponto (
) até o ponto (
). Parametrize o segmento e calcule a integral de linha do campo
ao longo de
.
(a) Parametrize a curva
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial
(c) Considere o segmento de reta
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado dá duas superfícies:
-
. -
.
-
- A curva
é a interseção com a condição adicional . - A curva
é percorrida da esquerda para a direita “considerando a origem” — isto significa que a orientação é no sentido de crescente (ou seja, do menor para o maior ).
As perguntas são:
(a) Parametrizar a curva .
(b) Calcular a integral de linha do campo ao longo de
com a orientação dada.
(c) Parametrizar o segmento de reta de
até
e calcular a integral de linha de
sobre
.
(a) Parametrizar a curva
(b) Calcular a integral de linha do campo
(c) Parametrizar o segmento de reta
Passo 2
Encontrar a equação da curva (interseção) e o intervalo do parâmetro.
A interseção exige que
(da
). Substituindo em
obtemos a relação para
:
Como foi imposta a condição
, precisamos dos
tais que
Para resolver isso, faça
. Então a desigualdade fica
A equação
tem raízes
e
. Como
, a região viável é
, ou seja
. Portanto
Passo 3
Escolher uma parametrização natural e orientar da esquerda para a direita.
A escolha mais direta é usar
como a coordenada
. Assim uma parametrização candidata é
com
variando em
. Essa parametrização percorre a curva com
crescento quando
vai de
a
, logo corresponde à orientação “da esquerda para a direita”. Isso responde (a).
Passo 4
Explicar o que é a integral de linha de um campo vetorial e preparar o cálculo.
Para um campo vetorial
e uma curva parametrizada por
,
, a integral de linha (no sentido da orientação dada) é
Aqui cada termo significa:
-
é o campo avaliado ao longo da curva. -
é a velocidade da parametrização (derivada componente a componente). - O produto escalar
combina os componentes e o integral em dá o trabalho/fluxo acumulado.
Vamos aplicar isso com a parametrização do Passo 3.
Passo 5
Calcular
e
, montar o integrando e integrar.
Derivando a parametrização:
Avaliar
em
. Lembrando
e que ao longo da curva
:
Fazer o produto escalar:
Agora simplificar termo a termo:
Observação amigável: muitos termos se cancelam — isso acontece com certa frequência em integrais de linha bem montadas, e simplifica bastante o cálculo.
Portanto a integral de linha na curva
é
Calculemos:
Assim respondemos (b): o valor da integral é
.
Passo 6
Parametrizar o segmento de reta
de
até
.
Uma parametrização linear (segmente) natural é tomar um parâmetro
e fazer interpolação:
Alternativamente, pode-se usar
com
— ambas são equivalentes. Vou usar
por ser mais compacto na integração (faz
diretamente):
Passo 7
Calcular a integral de linha de
sobre
.
Derivada da parametrização:
Avaliar
ao longo de
: como
e
, com
,
Produto escalar:
Integrando em
de
a
:
Portanto a integral de linha de
ao longo de
é
.
Passo 8
Pequeno comentário motivador e verificação rápida.
- Na parte (b) a parametrização natural levou a um integrando simples
e uma integral ímpar-simétrica deu um valor positivo . - Na parte (c) o integrando foi uma função ímpar
integrada simetricamente de a , resultando em zero — intuivamente o “trabalho” de ida cancela o de volta pelo simetria.
Força aí — deu pra ver que com a escolha certa do parâmetro as contas ficam bem lisinhas!
Resposta
(a)
(b)
(c)
e a integral ao longo de
é