Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula ao longo da curva
interseção do cilindro com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado nos dá a força (campo vetorial)
e diz que a curva
é a interseção de um cilindro com o plano
. A curva
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
A pergunta é: determinar o trabalho realizado pelo campo ao deslocar uma partícula ao longo de
.
A pergunta é: determinar o trabalho realizado pelo campo
Informações relevantes fornecidas:
- O campo vetorial
está completamente dado (componentes ). - A curva
é fechada (é interseção de um cilindro com o plano ). - Orientação de
: anti-horário visto de cima.
Informação que falta e impede um número concreto:
- A equação do cilindro (ou seja, a forma/raio da seção transversal em
) não foi fornecida. Sem essa equação não é possível calcular a área da região limitada por nem parametrizar explicitamente . Portanto, não é possível apresentar um valor numérico final sem mais dados sobre o cilindro.
Passo 2
Escolha do método de solução (explicação e por quê).
Possíveis abordagens para calcular o trabalho :
Possíveis abordagens para calcular o trabalho
- Fazer a integral de linha diretamente parametrizando
. Isso exige conhecer a equação do cilindro para parametrizar a curva — trabalhosa e dependente do dado ausente. - Verificar se
é campo conservativo (então para curva fechada) — rápido, depende do rotacional ser nulo. - Usar o teorema de Stokes (ou, no caso de curva plana, a versão bidimensional de Green) para transformar a integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional sobre a região interior a
. Isso costuma ser muito prático quando o rotacional é simples e a superfície é a seção plana do cilindro.
Vamos seguir a segunda/terceira ideias: primeiro calcular o rotacional para ver se
é conservativo; se não for, aplicar Stokes (no caso planar, equivalente a usar Green) para reduzir a integral de linha a um múltiplo da área da região interior a
. Isso evita parametrizações desnecessárias e funciona bem quando a curva está em um plano.
Passo 3
Cálculo do rotacional
.
Definição e explicação rápida: o rotacional de um campo é
Definição e explicação rápida: o rotacional de um campo
Aqui
,
,
. Vamos calcular cada derivada parcial (explicando cada passo):
-
(porque não depende de ). -
(porque não depende de ). -
Logo a componente
do rotacional é . -
. -
. -
Logo a componente
é . -
. -
. -
Logo a componente
é .
Portanto
Comentário: como o rotacional não é o vetor nulo,
não é conservativo, então não podemos concluir que o trabalho fechado é zero. Mas o rotacional é constante e simples, o que facilita usar Stokes/Green.
Passo 4
Aplicação do teorema de Stokes (versão planar / Green).
Enunciado intuitivo e como aplicar: para uma curva fechada que é fronteira de uma superfície
,
Enunciado intuitivo e como aplicar: para uma curva fechada
onde
é o versor normal à superfície
compatível com a orientação de
(regra da mão direita). No caso em questão,
está contida no plano
, então podemos tomar
como a região planar em
limitada por
.
Sobre orientação: “anti-horário visto de cima” significa que, visto para baixo na direção positiva do eixo
, a curva é percorrida no sentido anti-horário. Pela convenção, isso corresponde a escolher o versor normal para a superfície apontando para cima, isto é
(Explicação curta: pelo critério da mão direita, se o polegar aponta na direção de
então os dedos mostram a orientação positiva da fronteira; ver a curva anti-horária por quem olha na direção positiva de
indica
.)
Passo 5
Computar
e a integral de superfície.
Já temos e
. Então
Já temos
Pelo teorema de Stokes,
Interpretação: o trabalho é igual a
vezes a área planar da região
que é a seção transversal do cilindro no plano
. Essa área depende da equação do cilindro, que não foi fornecida.
Passo 6
Conclusão prática e casos especiais.
- Resposta geral (em função da área): se
denota a região planar em limitada por , então o trabalho é
- Caso típico (cilindro circular de raio
, i.e. cilindro ): a seção em é um disco de área . Nesse caso
- Exemplo numérico ilustrativo: se o cilindro fosse
(raio ), então .
Observação final: sem a equação do cilindro não é possível dar um número concreto; a forma correta e completa da resposta é a expressão em função da área mostrada acima.
Resposta
(Se o cilindro for