Determine o trabalho realizado pelo campo de força
\vec{F}(x, y, z)=(3 y+z) \vec{i}+(y-3 x) \vec{j}+\left(e^{z}+x\right) \vec{k}
para deslocar uma partícula ao longo da curva C interseção do cilindro com o plano z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado nos dá a força (campo vetorial)
\vec{F}(x,y,z)=(3y+z)\,\vec{i}+(y-3x)\,\vec{j}+\left(e^{z}+x\right)\,\vec{k}
e diz que a curva C é a interseção de um cilindro com o plano z=5. A curva C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
A pergunta é: determinar o trabalho realizado pelo campo \vec{F} ao deslocar uma partícula ao longo de C.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial \vec{F} está completamente dado (componentes P,Q,R).
  • A curva C é fechada (é interseção de um cilindro com o plano z=5).
  • Orientação de C: anti-horário visto de cima.
Informação que falta e impede um número concreto:
  • A equação do cilindro (ou seja, a forma/raio da seção transversal em z=5) não foi fornecida. Sem essa equação não é possível calcular a área da região limitada por C nem parametrizar explicitamente C. Portanto, não é possível apresentar um valor numérico final sem mais dados sobre o cilindro.

Passo 2

Escolha do método de solução (explicação e por quê).
Possíveis abordagens para calcular o trabalho \displaystyle W=\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}:
  • Fazer a integral de linha diretamente parametrizando C. Isso exige conhecer a equação do cilindro para parametrizar a curva — trabalhosa e dependente do dado ausente.
  • Verificar se \vec{F} é campo conservativo (então \oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 para curva fechada) — rápido, depende do rotacional ser nulo.
  • Usar o teorema de Stokes (ou, no caso de curva plana, a versão bidimensional de Green) para transformar a integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional sobre a região interior a C. Isso costuma ser muito prático quando o rotacional é simples e a superfície é a seção plana do cilindro.
Vamos seguir a segunda/terceira ideias: primeiro calcular o rotacional para ver se \vec{F} é conservativo; se não for, aplicar Stokes (no caso planar, equivalente a usar Green) para reduzir a integral de linha a um múltiplo da área da região interior a C. Isso evita parametrizações desnecessárias e funciona bem quando a curva está em um plano.

Passo 3

Cálculo do rotacional \nabla\times\vec{F}.
Definição e explicação rápida: o rotacional de um campo \vec{F}=(P,Q,R) é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aqui P(x,y,z)=3y+z, Q(x,y,z)=y-3x, R(x,y,z)=e^{z}+x. Vamos calcular cada derivada parcial (explicando cada passo):
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}+x\big)=0 (porque R não depende de y).
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y-3x\big)=0 (porque Q não depende de z).
  • Logo a componente \vec{i} do rotacional é 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(3y+z\big)=1.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{z}+x\big)=1.
  • Logo a componente \vec{j} é 1-1=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y-3x\big)=-3.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y+z\big)=3.
  • Logo a componente \vec{k} é -3-3=-6.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(0,0,-6).
Comentário: como o rotacional não é o vetor nulo, \vec{F} não é conservativo, então não podemos concluir que o trabalho fechado é zero. Mas o rotacional é constante e simples, o que facilita usar Stokes/Green.

Passo 4

Aplicação do teorema de Stokes (versão planar / Green).
Enunciado intuitivo e como aplicar: para uma curva fechada C que é fronteira de uma superfície S,
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o versor normal à superfície S compatível com a orientação de C (regra da mão direita). No caso em questão, C está contida no plano z=5, então podemos tomar S como a região planar em z=5 limitada por C.
Sobre orientação: “anti-horário visto de cima” significa que, visto para baixo na direção positiva do eixo z, a curva é percorrida no sentido anti-horário. Pela convenção, isso corresponde a escolher o versor normal para a superfície apontando para cima, isto é
\vec{n}=(0,0,1).
(Explicação curta: pelo critério da mão direita, se o polegar aponta na direção de \vec{n} então os dedos mostram a orientação positiva da fronteira; ver a curva anti-horária por quem olha na direção positiva de \vec{n} indica \vec{n}=(0,0,1).)

Passo 5

Computar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} e a integral de superfície.
Já temos \nabla\times\vec{F}=(0,0,-6) e \vec{n}=(0,0,1). Então
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(0,0,-6)\cdot(0,0,1)=-6.
Pelo teorema de Stokes,
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S -6\,dS = -6\iint_S dS = -6\cdot \big(\text{área da região }S\big).áã
Interpretação: o trabalho é igual a -6 vezes a área planar da região S que é a seção transversal do cilindro no plano z=5. Essa área depende da equação do cilindro, que não foi fornecida.

Passo 6

Conclusão prática e casos especiais.
  • Resposta geral (em função da área): se D denota a região planar em z=5 limitada por C, então o trabalho é
W=\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=-6\operatorname{Area}(D).
  • Caso típico (cilindro circular de raio a, i.e. cilindro x^2+y^2=a^2): a seção em z=5 é um disco de área \pi a^2. Nesse caso
W=-6\pi a^2.
  • Exemplo numérico ilustrativo: se o cilindro fosse x^2+y^2=2^2 (raio a=2), então W=-6\pi\cdot 4=-24\pi.
Observação final: sem a equação do cilindro não é possível dar um número concreto; a forma correta e completa da resposta é a expressão em função da área mostrada acima.

Resposta

\;W=-6\operatorname{Area}(D), onde D é a região plana em z=5 limitada por C.
(Se o cilindro for x^{2}+y^{2}=a^{2}, então \;W=-6\pi a^{2}.)

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