Considere uma garrafa térmica ideal, inicialmente com um 50 ml de gelo a -20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{g}}=0,5\right. cal/g { }^{\circ} \mathrm{C}, L_{g}=80 cal/g, \rho_{g}=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), 250 ml de água a 30^{\circ} \mathrm{C} e 500 ml de vapor d’água a 100^{\circ} \mathrm{C} c_{v}=0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, L_{v}=500 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, \rho_{v}=0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Calcule a temperatura final desta mistura após equilibrio térmico:

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a temperatura final da mistura após equilíbrio térmico.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
  • Volume de gelo: V_g=50\\ \text{ml}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{g,i}=-20^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do gelo: c_g=0,5\\ \text{cal/g}^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_g=80\\ \text{cal/g}.
  • Densidade do gelo: \rho_g=900\\ \text{kg/m}^3.
  • Volume de água líquida: V_w=250\\ \text{ml}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água líquida (valor padrão): c_{w}=1,0\\ \text{cal/g}^\circ\mathrm{C}.
  • Volume de vapor: V_v=500\\ \text{ml}.
  • Temperatura inicial do vapor: T_{v,i}=100^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do vapor (quando necessário): c_{v}=0,5\\ \text{cal/g}^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de vaporização: L_v=500\\ \text{cal/g}.
  • Densidade do vapor: \rho_v=0,5\\ \text{kg/m}^3.
Observação: vou transformar volumes em massas (gramas) usando as densidades e usar as fórmulas de calor sensível e calor latente. Não resolvo nada ainda, apenas organizei os dados.

Passo 2

Converter volumes em massas (em gramas), usando 1 ml = 1\\ \text{cm}^3.
Para o gelo:
\rho_g=900\\ \text{kg/m}^3=0{,}9\\ \text{g/cm}^3.
V_g=50\\ \text{ml}=50\\ \text{cm}^3.
m_g=\rho_g V_g=0{,}9\cdot50=45\\ \text{g}.
Para a água líquida (usa-se densidade aproximada 1{,}0\\ \text{g/cm}^3):
m_w=V_w=250\\ \text{g}.
Para o vapor:
V_v=500\\ \text{ml}=500\\ \text{cm}^3=5{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}^3.
\rho_v=0{,}5\\ \text{kg/m}^3.
m_v=\rho_v V_v=0{,}5\cdot5{,}0\times10^{-4}=2{,}5\times10^{-4}\\ \text{kg}=0{,}25\\ \text{g}.
Resumo de massas:
m_g=45\\ \text{g},\qquad m_w=250\\ \text{g},\qquad m_v=0{,}25\\ \text{g}.

Passo 3

Estratégia de cálculo (ideia física e fórmulas usadas):
  • Fórmula do calor sensível (para aquecer/esfriar sem mudança de fase):
Q = m c \Delta T,
onde Q é o calor absorvido pelo corpo (positivo se o corpo ganha calor), m a massa em gramas, c o calor específico em \text{cal/g}^\circ\mathrm{C} e \Delta T=T_f-T_i.
  • Fórmula do calor latente (para mudança de fase, sem variação de temperatura durante a troca):
Q = m L,
onde L é o calor latente (cal/g). Para fusão, calor absorvido por o sólido é +mL_g; para condensação, o vapor libera calor +mL_v para o meio (mas, na equação de energia, a energia do vapor diminui, então o termo da energia do vapor será negativo se representado como calor absorvido por ele).
Vou supor inicialmente que a temperatura final T_f está entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}. Isso implica:
  • O gelo aquece de -20^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}, funde totalmente, e a água resultante aquece de 0^\circ\mathrm{C} a T_f.
  • O vapor condensa totalmente a 100^\circ\mathrm{C} (liberando m_v L_v) e depois a água condensada esfria de 100^\circ\mathrm{C} até T_f.
  • A água inicial esfria de 30^\circ\mathrm{C} até T_f.
Depois de resolver, vou verificar se T_f obtido confirma essa hipótese (ou seja, se realmente fica entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} e se as suposições de mudança de fase estão consistentes).

Passo 4

Calor necessário para aquecer o gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{g,1}=m_g c_g (0-(-20))=45\cdot0{,}5\cdot20=45\cdot10=450\\ \text{cal}.

Passo 5

Calor necessário para fundir totalmente o gelo (de 0°C sólido para 0°C líquido):
Q_{g,2}=m_g L_g=45\cdot80=3600\\ \text{cal}.

Passo 6

Calor necessário para aquecer a água que veio do gelo de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{g,3}=m_g c_w (T_f-0)=45\cdot1{,}0\cdot T_f=45\,T_f\\ \text{cal}.
Total de calor absorvido pelo bloco que era gelo (soma dos três termos; todos positivos, porque o gelo/gelo derretido ganha calor):
Q_{g,\text{total}}=Q_{g,1}+Q_{g,2}+Q_{g,3}=450+3600+45\,T_f=4050+45\,T_f.

Passo 7

Calor trocado pela água inicialmente líquida (massa m_w) ao ir de 30^\circ\mathrm{C} para T_f:
Q_w=m_w c_w (T_f-30)=250\cdot1{,}0\cdot(T_f-30)=250\,T_f-7500.
Observação: se T_f<30^\circ\mathrm{C}, este Q_w será negativo (ou seja, a água libera calor).

Passo 8

Calor trocado pelo vapor. Assumindo que todo o vapor condensa a 100^\circ\mathrm{C} e depois a água condensada esfria até T_f, a variação de calor “absorvido” pelo vapor (positivo se ganhar calor) é:
  • Liberação de calor por condensação: o vapor libera m_v L_v para o meio (portanto, para o vapor isto representa perda de energia).
  • Em seguida, a água condensada (massa m_v) resfria de 100^\circ\mathrm{C} até T_f: ganho de calor por essa porção é m_v c_w (T_f-100) (será negativo se T_f<100).
Somando (calor absorvido pelo componente vapor → final menos inicial):
Q_v = -m_v L_v + m_v c_w (T_f-100).
Substituindo números:
Q_v = -0{,}25\cdot500 + 0{,}25\cdot1{,}0\cdot(T_f-100) = -125 +0{,}25\,T_f -25 = -150 +0{,}25\,T_f.

Passo 9

Conservação de energia (sistema isolado, somatório dos calores iguais a zero):
Q_{g,\text{total}} + Q_w + Q_v = 0.
Substituindo as expressões obtidas:
(4050+45\,T_f) + (250\,T_f-7500) + (-150+0{,}25\,T_f)=0.

Passo 10

Resolver a equação para T_f. Primeiro somar os termos em T_f e os termos constantes:
  • Coeficiente de T_f:
45 + 250 + 0{,}25 = 295{,}25.
  • Soma das constantes:
4050 -7500 -150 = -3600.
Equação:
295{,}25\,T_f -3600 = 0.
Isolando T_f:
T_f = \frac{3600}{295{,}25}.
Calcular:
T_f \approx 12{,}19^\circ\mathrm{C}.
(Arredondando, T_f\approx12{,}2^\circ\mathrm{C}.)

Passo 11

Verificação da hipótese:
  • T_f calculado está entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, portanto a hipótese inicial é consistente.
  • Conferir conservação de energia numérica rápida (verificação):
    • Calor total absorvido pelo gelo até T_f: 4050+45\cdot12{,}19\approx4050+548{,}55=4598{,}55\\ \text{cal}.
    • Calor liberado por água e vapor até T_f: Q_w+Q_v=(250\cdot(12{,}19-30))+(-150+0{,}25\cdot12{,}19)\approx-4452{,}5-146{,}95=-4599{,}45\\ \text{cal}.
    • Diferença residual pequena ( \sim1 cal) devido a arredondamentos; portanto o balanço está consistente e confirma que todo o gelo fundiu e todo o vapor condensou sob a hipótese.

Resposta

T_f \approx 12{,}2^\circ\mathrm{C}

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