Para um gás ideal num recipiente fechado, obtenha três processos que resultem numa compressão de 12 \times o volume inicial para transformações :
a) Isotérmica, (P2/P1)= \_\_\_\_ (0,5 pt)
b) Isobárica (T1/T2) \_\_\_\_ (0,5 pts)
c) Com pressões e temperatura variando, exemplifique um caso para
T1: \_\_\_\_ T2: \_\_\_\_ P1: \_\_\_\_ e P2: \_\_\_\_ (2,0 pts)

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal em recipiente fechado e pede três transformações que representam uma compressão de 12\times o volume inicial. Ou seja, o volume final é do tamanho de um doze avos do inicial:
  • Informação dada: V_2 = \dfrac{V_1}{12}.
    O que se pede:
  • (a) Para um processo isotérmico, calcular \dfrac{P_2}{P_1}=\_\_\_\_.
  • (b) Para um processo isobárico, calcular \dfrac{T_1}{T_2}=\_\_\_\_.
  • (c) Dar um exemplo numérico consistente (um caso com pressões e temperaturas variando) preenchendo valores para T_1,\;T_2,\;P_1 e P_2.

Passo 2

Lembrete das relações que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Para gás ideal vale a lei geral PV=nRT, onde:
    • P é a pressão,
    • V é o volume,
    • n é a quantidade de mols (constante aqui, porque o recipiente é fechado),
    • R é a constante universal dos gases (constante para o problema),
    • T é a temperatura absoluta (sempre em kelvin).
  • Como nR é constante no processo (recipiente fechado, mesma massa de gás), a combinação \dfrac{PV}{T} é constante durante qualquer transformação do gás. Isso dá a equação útil:
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}.
Vou usar essa equação geral para derivar os casos pedidos. Atenção: temperaturas devem ser em kelvin para que a proporcionalidade seja válida.

Passo 3

(a) Isotérmico: temperatura constante ( T_1=T_2).
  • Se T é constante, a lei reduz a PV= constante. Assim:
P_1 V_1 = P_2 V_2.
  • Dividindo ambos os lados por P_1 V_2 obtemos a razão pedida:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{V_1}{V_2}.
  • Como foi dado V_2=\dfrac{V_1}{12}, então
\frac{P_2}{P_1}=\frac{V_1}{V_1/12}=12.
Portanto, numa compressão isotérmica que reduz o volume em fator 12, a pressão aumenta por fator 12.

Passo 4

Comentário didático curto sobre (a): faz sentido físico — mantendo a temperatura fixa, reduzir o volume força as moléculas a baterem mais frequentemente nas paredes, aumentando a pressão na mesma proporção inversa do volume.

Passo 5

(b) Isobárico: pressão constante ( P_1=P_2).
  • Para pressão constante, da relação geral temos \dfrac{V}{T}= constante, ou seja:
\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}.
  • Reorganizando para a razão pedida:
\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}.
  • Usando V_2=\dfrac{V_1}{12} resulta
\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_1/12}=12.
Logo, numa compressão em que a pressão fica constante (o que implica aquecer ou resfriar conforme o sentido do volume), a temperatura absoluta deve cair por fator 12 quando o volume cai por fator 12. Observação prática: as temperaturas devem estar em kelvin; não se pode operar com Celsius sem converter.

Passo 6

Comentário didático curto sobre (b): se P é fixo e o volume diminui, então a temperatura absoluta também diminui na mesma proporção; isso é a versão de Charles para transformações isobáricas.

Passo 7

(c) Exemplo com pressões e temperaturas variando (construção de um caso numérico consistente).
  • Para construir um exemplo conveniente, escolho volumes simples que respeitem a compressão por 12:
    • tomo V_1=12 (unidades arbitrárias, por exemplo 12\\ \mathrm{L}),
    • então V_2=1 (mesma unidade, 1\\ \mathrm{L}), de modo que V_2=V_1/12.
  • Escolho um P_1 simples e uma temperatura inicial T_1 simples para facilitar contas; por exemplo:
    • P_1=1\\ \mathrm{atm},
    • T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • Agora escolho uma T_2 diferente (para ter variação de temperatura). Por exemplo tomo T_2=150\\ \mathrm{K} (metade de T_1).
  • Usando a equação geral \dfrac{P_1 V_1}{T_1}=\dfrac{P_2 V_2}{T_2}, resolvo para P_2:
P_2 = P_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}.
  • Substituindo os números escolhidos:
P_2 = 1\\ \mathrm{atm}\cdot 12 \cdot \frac{150}{300} = 1\cdot 12 \cdot \tfrac{1}{2}=6\\ \mathrm{atm}.
  • Portanto um exemplo consistente é:
    • T_1=300\\ \mathrm{K},
    • T_2=150\\ \mathrm{K},
    • P_1=1\\ \mathrm{atm},
    • P_2=6\\ \mathrm{atm}.
      Esse conjunto satisfaz a relação do gás ideal e representa uma compressão do volume por fator 12 com pressão e temperatura variando.

Resposta

a) \dfrac{P_2}{P_1}=12
b) \dfrac{T_1}{T_2}=12
c) T_1=300\\ \mathrm{K},\\ T_2=150\\ \mathrm{K},\\ P_1=1\\ \mathrm{atm},\\ P_2=6\\ \mathrm{atm}

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