Para um gás ideal num recipiente fechado, obtenha três processos que resultem numa compressão de
o volume inicial para transformações :
a) Isotérmica, (P2/P1)=
(0,5 pt)
b) Isobárica (T1/T2)
(0,5 pts)
c) Com pressões e temperatura variando, exemplifique um caso para
T1:
T2:
P1:
e P2:
(2,0 pts)
a) Isotérmica, (P2/P1)=
b) Isobárica (T1/T2)
c) Com pressões e temperatura variando, exemplifique um caso para
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal em recipiente fechado e pede três transformações que representam uma compressão de
o volume inicial. Ou seja, o volume final é do tamanho de um doze avos do inicial:
- Informação dada:
.
O que se pede: - (a) Para um processo isotérmico, calcular
. - (b) Para um processo isobárico, calcular
. - (c) Dar um exemplo numérico consistente (um caso com pressões e temperaturas variando) preenchendo valores para
e .
Passo 2
Lembrete das relações que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Para gás ideal vale a lei geral
, onde: -
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de mols (constante aqui, porque o recipiente é fechado), -
é a constante universal dos gases (constante para o problema), -
é a temperatura absoluta (sempre em kelvin).
-
- Como
é constante no processo (recipiente fechado, mesma massa de gás), a combinação é constante durante qualquer transformação do gás. Isso dá a equação útil:
Vou usar essa equação geral para derivar os casos pedidos. Atenção: temperaturas devem ser em kelvin para que a proporcionalidade seja válida.
Passo 3
(a) Isotérmico: temperatura constante (
).
- Se
é constante, a lei reduz a constante. Assim:
- Dividindo ambos os lados por
obtemos a razão pedida:
- Como foi dado
, então
Portanto, numa compressão isotérmica que reduz o volume em fator
, a pressão aumenta por fator
.
Passo 4
Comentário didático curto sobre (a): faz sentido físico — mantendo a temperatura fixa, reduzir o volume força as moléculas a baterem mais frequentemente nas paredes, aumentando a pressão na mesma proporção inversa do volume.
Passo 5
(b) Isobárico: pressão constante (
).
- Para pressão constante, da relação geral temos
constante, ou seja:
- Reorganizando para a razão pedida:
- Usando
resulta
Logo, numa compressão em que a pressão fica constante (o que implica aquecer ou resfriar conforme o sentido do volume), a temperatura absoluta deve cair por fator
quando o volume cai por fator
. Observação prática: as temperaturas devem estar em kelvin; não se pode operar com Celsius sem converter.
Passo 6
Comentário didático curto sobre (b): se
é fixo e o volume diminui, então a temperatura absoluta também diminui na mesma proporção; isso é a versão de Charles para transformações isobáricas.
Passo 7
(c) Exemplo com pressões e temperaturas variando (construção de um caso numérico consistente).
- Para construir um exemplo conveniente, escolho volumes simples que respeitem a compressão por 12:
- tomo
(unidades arbitrárias, por exemplo ), - então
(mesma unidade, ), de modo que .
- tomo
- Escolho um
simples e uma temperatura inicial simples para facilitar contas; por exemplo: -
, -
.
-
- Agora escolho uma
diferente (para ter variação de temperatura). Por exemplo tomo (metade de ). - Usando a equação geral
, resolvo para :
- Substituindo os números escolhidos:
- Portanto um exemplo consistente é:
-
, -
, -
, -
.
Esse conjunto satisfaz a relação do gás ideal e representa uma compressão do volume por fatorcom pressão e temperatura variando.
-
Resposta
a)
b)
c)