Uma máquina térmica ideal, funcionando em ciclo de Carnot, apresenta rendimento de 10 %. Sabendo que a temperatura da fonte fria é de 27^{\circ} \mathrm{C} e quantidade de calor 100 J , qual o valor da temperatura e da quantidade de calor da fonte quente?
Qq _____ (1,0 pts)
\mathrm{Q}_{\mathrm{q}} _____ (1,0 pts)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Rendimento da máquina térmica: \eta = 10\% = 0{,}10.
  • Temperatura da fonte fria (reservatório frio) dada em Celsius: 27^\circ\mathrm{C}.
  • Foi dada uma quantidade de calor igual a 100\\ \mathrm{J}. Como o enunciado pergunta “qual … a quantidade de calor da fonte quente?”, vou assumir que a quantidade de calor fornecida no enunciado é a rejeitada para a fonte fria, isto é, Q_{\mathrm{c}} = 100\\ \mathrm{J}. (Não é pedida informação adicional, então trabalho com essa interpretação.)
  • O que se pede: (1) a temperatura da fonte quente e (2) a quantidade de calor fornecida pela fonte quente (isto é, Q_{\mathrm{h}}).

Passo 2

Converter a temperatura de 27^\circ\mathrm{C} para Kelvin, porque as fórmulas termodinâmicas de eficiência usam temperaturas absolutas:
T_{\mathrm{c}} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
Explicação didática: a escala Kelvin se obtém somando 273 a graus Celsius; em problemas térmicos sempre usar Kelvin nas razões de temperatura.

Passo 3

Lembrar a fórmula do rendimento de uma máquina de Carnot (máquina ideal reversível): o rendimento \eta é dado por
\eta = 1 - \frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{h}}},
onde T_{\mathrm{c}} é a temperatura do reservatório frio (em K) e T_{\mathrm{h}} é a temperatura do reservatório quente (em K). Aqui:
  • \eta é a fração do calor absorvido que vira trabalho.
  • T_{\mathrm{c}} e T_{\mathrm{h}} são temperaturas absolutas (Kelvin).
Não pulei etapas: a fórmula vem da condição de reversibilidade (troca de entropia nula no ciclo de Carnot), e é a relação padrão para rendimento máximo entre duas temperaturas.

Passo 4

Isolar T_{\mathrm{h}} na fórmula para encontrar a temperatura da fonte quente:
\eta = 1 - \frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{h}}} \quad\Rightarrow\quad \frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{h}}} = 1 - \eta \quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{h}} = \frac{T_{\mathrm{c}}}{1 - \eta}.
Agora substituir os valores numéricos: T_{\mathrm{c}} = 300\\ \mathrm{K} e \eta = 0{,}10:
T_{\mathrm{h}} = \frac{300}{1 - 0{,}10} = \frac{300}{0{,}90} = 333{,}\overline{3}\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius (se quiser a temperatura em graus Celsius):
T_{\mathrm{h}}(^{\circ}\mathrm{C}) = 333{,}\overline{3} - 273 = 60{,}3\overline{3}^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Explicar a relação entre calores em ciclo reversível: num ciclo de Carnot (reversível) a variação de entropia total é zero, logo o calor trocado satisfaz
\frac{Q_{\mathrm{h}}}{T_{\mathrm{h}}} = \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}}.
Isto significa que as quantidades de calor trocadas estão na mesma razão das temperaturas absolutas. Dessa igualdade obtemos
Q_{\mathrm{h}} = Q_{\mathrm{c}} \cdot \frac{T_{\mathrm{h}}}{T_{\mathrm{c}}}.
Aqui:
  • Q_{\mathrm{h}} é o calor absorvido da fonte quente (o que queremos).
  • Q_{\mathrm{c}} é o calor cedido à fonte fria (aqui assumido 100\\ \mathrm{J}).

Passo 6

Substituir os valores para calcular Q_{\mathrm{h}}:
Q_{\mathrm{h}} = 100\\ \mathrm{J} \cdot \frac{333{,}\overline{3}}{300} = 100\\ \mathrm{J} \cdot \frac{10}{9} = \frac{1000}{9}\\ \mathrm{J} \approx 111{,}1\overline{1}\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida (controle): o rendimento também pode ser obtido por \eta = 1 - \dfrac{Q_{\mathrm{c}}}{Q_{\mathrm{h}}}. Com Q_{\mathrm{c}}=100\\ \mathrm{J} e Q_{\mathrm{h}}\approx111{,}11\\ \mathrm{J} temos
\eta = 1 - \frac{100}{111{,}11\ldots} = 1 - 0{,}90 = 0{,}10,
coerente com o dado do enunciado.

Resposta

T_{\mathrm{h}} = 333{,}\overline{3}\\ \mathrm{K}\\ (\approx 60{,}33^\circ\mathrm{C})
Q_{\mathrm{h}} = \dfrac{1000}{9}\\ \mathrm{J} \approx 111{,}11\\ \mathrm{J}

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