Passo 1
O enunciado pede a avaliação do integral duplo
O conteúdo principal é troca de ordem de integração para simplificar, seguida de substituição e frações parciais para resolver o integral resultante.
Passo 2
Descrevemos a região
no plano
:
Para trocar a ordem, vemos que
vai de
(quando
) até
, e para cada
dado,
varia de
até
. Logo
Passo 3
No integral trocado a função não depende de
, então a integral interna é imediata:
Portanto o duplo integral vira
Passo 4
Para resolver
fazemos a substituição de variável
. Então
, isto é
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 5
Fazemos frações parciais em
Resolvendo o sistema obtemos
Logo
Passo 6
Integramos cada parcela. Uma primitiva é
Portanto
Passo 7
Calculamos os valores:
Logo
Passo 8
Não esqueçamos do fator
de antes. Então o valor final é
Podemos simplificar
e combinar os logaritmos: