\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y^{9}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do integral duplo
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\frac{1}{y^{9}+1}\,dy\,dx.
O conteúdo principal é troca de ordem de integração para simplificar, seguida de substituição e frações parciais para resolver o integral resultante.

Passo 2

Descrevemos a região D no plano xy:
0 \le x \le 4,\quad \sqrt{x} \le y \le 2.
Para trocar a ordem, vemos que y vai de 0 (quando x=0) até 2, e para cada y dado, x varia de 0 até y^2. Logo
\int_{0}^{4}\!\int_{\sqrt{x}}^{2}\frac{1}{y^{9}+1}\,dy\,dx =\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y^{2}}\frac{1}{y^{9}+1}\,dx\,dy.

Passo 3

No integral trocado a função não depende de x, então a integral interna é imediata:
\int_{x=0}^{y^{2}}\frac{1}{y^{9}+1}\,dx =\frac{y^{2}}{y^{9}+1}.
Portanto o duplo integral vira
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{y^{9}+1}\,dy.

Passo 4

Para resolver
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{y^{9}+1}\,dy
fazemos a substituição de variável t=y^{3}. Então dt=3y^{2}dy, isto é y^{2}dy=\tfrac{dt}{3}, e quando y vai de 0 a 2, t vai de 0 a 8. Assim
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{y^{9}+1}\,dy =\frac{1}{3}\int_{0}^{8}\frac{1}{t^{3}+1}\,dt.

Passo 5

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{t^{3}+1} =\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^{2}-t+1}.
Resolvendo o sistema obtemos
A=\frac{1}{3},\quad B=-\frac{1}{3},\quad C=\frac{2}{3}.
Logo
\frac{1}{t^{3}+1} =\frac{1/3}{t+1} +\frac{-\tfrac{1}{3}\,t+\tfrac{2}{3}}{t^{2}-t+1}.

Passo 6

Integramos cada parcela. Uma primitiva é
F(t) =\frac{1}{3}\ln(t+1) -\frac{1}{6}\ln\bigl(t^{2}-t+1\bigr) +\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Portanto
\int_{0}^{8}\frac{1}{t^{3}+1}\,dt =F(8)-F(0).

Passo 7

Calculamos os valores:
F(8) =\frac{1}{3}\ln 9 -\frac{1}{6}\ln 57 +\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\bigl(5\sqrt{3}\bigr), \quad F(0) =-\frac{\pi}{6\sqrt{3}}.
Logo
\int_{0}^{8}\frac{1}{t^{3}+1}\,dt =\frac{1}{3}\ln 9 -\frac{1}{6}\ln 57 +\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\bigl(5\sqrt{3}\bigr) +\frac{\pi}{6\sqrt{3}}.

Passo 8

Não esqueçamos do fator \tfrac{1}{3} de antes. Então o valor final é
\frac{1}{3}\Bigl[F(8)-F(0)\Bigr] =\frac{1}{9}\ln 9 -\frac{1}{18}\ln 57 +\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan\bigl(5\sqrt{3}\bigr) +\frac{\pi}{18\sqrt{3}}.
Podemos simplificar \tfrac{1}{9}\ln 9= \tfrac{2}{9}\ln 3 e combinar os logaritmos:
\frac{2}{9}\ln 3-\frac{1}{18}\ln 57 =\frac{1}{18}\ln\!\Bigl(\frac{3^{4}}{57}\Bigr) =\frac{1}{18}\ln\!\Bigl(\frac{27}{19}\Bigr).

Resposta

\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\frac{1}{y^{9}+1}\,dy\,dx =\frac{1}{18}\ln\!\Bigl(\tfrac{27}{19}\Bigr) +\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(5\sqrt{3}\bigr) +\frac{\pi}{18\sqrt{3}}.

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