- Considere um gás de Fermi degenerado, não-interagente, de spin
a temperatura de 0 K .
a. Encontre a expressão para a energia dum sistema de N tais partículas confinadas num volume V. Suponha que as partículas são não-relativistas.
b. Dada tal expressão para a energia interna dum sistema geral (não necessariamente um gás ideal) a temperatura de 0 K , como se pode determinar a pressão?
c. Determine, então, a pressão desse gás e mostre que coincide com o resultado dado pela teoria cinética.
a. Encontre a expressão para a energia dum sistema de N tais partículas confinadas num volume V. Suponha que as partículas são não-relativistas.
b. Dada tal expressão para a energia interna dum sistema geral (não necessariamente um gás ideal) a temperatura de 0 K , como se pode determinar a pressão?
c. Determine, então, a pressão desse gás e mostre que coincide com o resultado dado pela teoria cinética.
Passo 1
O enunciado pede a energia total de um gás de Fermi degenerado, não-interagente, de spin
a
K, confinado num volume
com
partículas não-relativísticas. Para isso precisamos (i) relacionar o número de partículas com o vetor de Fermi
, (ii) usar a densidade de estados em energia para integrar até a energia de Fermi
, (iii) obter
, e depois (iv) usar
para achar a pressão e compará-la com a teoria cinética.
Passo 2
Em
K preenchemos todos os estados com momento
até
. A degenerescência de spin é 2, portanto
Desse modo
Passo 3
A densidade de estados por unidade de energia é
Então a energia total é
Como
, obtemos
Passo 4
De forma geral, a pressão de um sistema a
K é
Passo 5
Aplicando a derivada em
, vem
onde
. Mas a teoria cinética para partículas não-relativísticas dá
logo coincide exatamente.
Resposta
a.
b.
c.
que é o mesmo resultado da teoria cinética.