1. Considere um gás de Fermi degenerado, não-interagente, de spin 1 / 2 a temperatura de 0 K .
    a. Encontre a expressão para a energia dum sistema de N tais partículas confinadas num volume V. Suponha que as partículas são não-relativistas.
    b. Dada tal expressão para a energia interna dum sistema geral (não necessariamente um gás ideal) a temperatura de 0 K , como se pode determinar a pressão?
    c. Determine, então, a pressão desse gás e mostre que coincide com o resultado dado pela teoria cinética.

Passo 1

O enunciado pede a energia total de um gás de Fermi degenerado, não-interagente, de spin 1/2 a T=0 K, confinado num volume V com N partículas não-relativísticas. Para isso precisamos (i) relacionar o número de partículas com o vetor de Fermi kF, (ii) usar a densidade de estados em energia para integrar até a energia de Fermi varepsilonF, (iii) obter U(N,V), e depois (iv) usar P=-l(partial U/partial Vr)N para achar a pressão e compará-la com a teoria cinética.

Passo 2

Em T=0 K preenchemos todos os estados com momento hbar k até hbar kF. A degenerescência de spin é 2, portanto
N = 2 times V(2pi)^3,4pi kF^33 = V,kF^33pi^2
Desse modo
kF = l(3pi^2 NVr)^1/3 e varepsilonF = hbar^2 kF^22m,

Passo 3

A densidade de estados por unidade de energia é
g(varepsilon) = V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/2varepsilon^1/2
Então a energia total é
U = integral0^varepsilonF!varepsilon,g(varepsilon), dvarepsilon = V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/2 integral0^varepsilonFvarepsilon^3/2, dvarepsilon
Como integral0^varepsilonFvarepsilon^3/2 dvarepsilon=tfrac25varepsilonF^5/2, obtemos
U = V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/225,varepsilonF^5/2 = 35,N,varepsilonF = 35,hbar^22m(3pi^2)^2/3N^5/3V^2/3

Passo 4

De forma geral, a pressão de um sistema a T=0 K é
P = -l(partial Upartial Vr)N

Passo 5

Aplicando a derivada em
Upropto V^-2/3, vem
P = -l(-tfrac23r)UV = 23,UV = 25,n,varepsilonF,
onde n=N/V. Mas a teoria cinética para partículas não-relativísticas dá
P = 23,UV,
logo coincide exatamente.

Resposta

a. U = 35,N,varepsilonF = 35,hbar^22m(3pi^2)^2/3N^5/3V^2/3
b. P = -l(partial Upartial Vr)N
c. P = 23,UV = 25,n,varepsilonF = (3pi^2)^2/3hbar^25m,n^5/3,
que é o mesmo resultado da teoria cinética.

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