Considere um gás ideal contido em um recipiente cúbico de lado L, a uma temperatura absoluta T, na presença de um campo gravitacional uniforme de módulo g. (a) Calcule o número médio n(z) de moléculas por unidade de volume a uma altura z. (b) Discuta a variação da pressão com a altura. (c) Calcule a energia potencial média do sistema. (d) Verifique se é satisfeito o teorema da equipartição da energia, analisando os limites de alta e baixa temperatura. Explique.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal dentro de um recipiente cúbico de lado L, temperatura absoluta T e campo gravitacional uniforme de módulo g (vertical para baixo). As perguntas são:
(a) Calcular o número médio por volume n(z) das moléculas à altura z.
(b) Discutir como a pressão varia com z.
(c) Calcular a energia potencial média do sistema.
(d) Verificar o teorema da equipartição, analisando limites de alta e baixa temperatura e explicar.
Informações relevantes/assunções necessárias (explicitadas para evitar ambiguidades):
  • Cada molécula tem massa m.
  • O número total de moléculas é N.
  • A área da base do cubo é A=L^2.
  • Energia potencial gravitacional de uma molécula a altura z é U(z)=mgz.
  • Usaremos a distribuição canônica / fator de Boltzmann para a posição: probabilidades proporcionais a \exp(-\beta U(z)) com \beta=1/(kT), onde k é a constante de Boltzmann.
    Não começo a resolver ainda; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Derivação do perfil de densidade n(z) (parte a), passo a passo e explicando os conceitos usados.
Conceito usado: em equilíbrio térmico no potencial gravitacional, a probabilidade de encontrar uma molécula numa posição z é proporcional ao fator de Boltzmann \exp(-\beta mg z). Isso vem da estatística canônica: a densidade espacial (por unidade de volume) varia como
n(z)\propto e^{-\beta mg z},
onde \beta=\dfrac{1}{kT}. Aqui, explicaço rápida do porquê: a densidade de probabilidade espacial (ignorando momentos) é dada por p(z)\propto e^{-\beta U(z)}; para gás ideal os estados de posição não interagem, então cada partícula tem essa distribuição.
Agora normalizamos: escrevemos
n(z)=n(0)\,e^{-\beta mg z}.
Para determinar n(0) usamos a condição de número total N. O número total é
N = \int_{\text{volume}} n(\mathbf r)\,dV = A\int_{0}^{L} n(z)\,dz = A\,n(0)\int_{0}^{L} e^{-\beta mg z}\,dz.
Calcule a integral:
\int_{0}^{L} e^{-\beta mg z}\,dz = \frac{1-e^{-\beta mg L}}{\beta mg}.
Assim
N = A\,n(0)\,\frac{1-e^{-\beta mg L}}{\beta mg}.
Isolando n(0):
n(0)=\frac{N}{A}\,\frac{\beta mg}{1-e^{-\beta mg L}}.
Substituindo A=L^2 e \beta=1/(kT), obtemos a expressão final:
\boxed{\,n(z)=\frac{N}{L^2}\,\frac{(mg)/(kT)}{1-e^{-mgL/(kT)}}\;e^{-mgz/(kT)}\,.}
Observação física simples: se o recipiente for muito alto ou a temperatura muito grande de modo que mgL/(kT)\ll1, então e^{-mgL/(kT)}\approx1-mgL/(kT) e a densidade fica praticamente constante n(z)\approx N/L^3 (distribuição homogênea). No contrário (temperatura baixa ou L grande), a densidade decai exponencialmente com z.

Passo 3

Variação da pressão com a altura (parte b), com derivação e conexão com equilíbrio hidrostático.
Usamos a equação do gás ideal local: a pressão local p(z) está relacionada à densidade por
p(z)=n(z)\,kT.
Como já temos n(z)\propto e^{-\beta mg z}, segue imediatamente que
\boxed{\,p(z)=p(0)\,e^{-mgz/(kT)}\,}
onde
p(0)=n(0)kT=\frac{N}{L^2}\,\frac{mg}{1-e^{-mgL/(kT)}}.
(Usei kT\cdot (mg/(kT))=mg para simplificar.)
Verificação pela fórmula de equilíbrio hidrostático: para um fluido em equilíbrio sob gravidade vale
\frac{dp}{dz} = -\rho(z) g,
onde \rho(z)=m\,n(z) é a massa por volume. Substituindo \rho(z)=m n(0)e^{-\beta mg z} e p(z)=n(z)kT obtemos
\frac{dp}{dz}=kT\frac{dn}{dz} = kT\left(-\beta mg\right)n(z) = -m g n(z) = -\rho(z) g,
ou seja, as expressões são consistentes com o equilíbrio mecânico.
Interpretação: a pressão decai exponencialmente para cima com escala de altura térmica \ell = kT/(mg) (altura típica na qual a densidade cai por fator e).

Passo 4

Cálculo da energia potencial média do sistema (parte c), com todas as contas detalhadas.
Definição: energia potencial de uma molécula é U(z)=mgz. A energia potencial média por partícula é
\langle U\rangle = mg\,\langle z\rangle,
onde
\langle z\rangle = \frac{\int_{0}^{L} z\,n(z)\,dz}{\int_{0}^{L} n(z)\,dz} = \frac{\int_{0}^{L} z\,e^{-\beta mg z}\,dz}{\int_{0}^{L} e^{-\beta mg z}\,dz},
pois o fator n(0) e a área A cancelam.
Calculemos a integral do numerador. Seja a=\beta mg=\dfrac{mg}{kT}. Então
\int_{0}^{L} z\,e^{-a z}\,dz.
Integramos por partes ou usamos a primitiva conhecida. A primitiva é
\int z e^{-a z}\,dz = -\frac{z e^{-a z}}{a} - \frac{e^{-a z}}{a^2} + C.
Avaliando de 0 a L obtemos
\int_{0}^{L} z e^{-a z}\,dz = \frac{1}{a^2}\Big(1 - e^{-aL}(1 + aL)\Big).
O denominador já tínhamos:
\int_{0}^{L} e^{-a z}\,dz = \frac{1-e^{-aL}}{a}.
Portanto
\langle z\rangle = \frac{\dfrac{1}{a^2}\big(1 - e^{-aL}(1 + aL)\big)}{\dfrac{1-e^{-aL}}{a}} = \frac{1}{a}\;\frac{1 - e^{-aL}(1 + aL)}{1-e^{-aL}}.
Multiplicando por mg para obter a energia potencial média por partícula:
\langle U\rangle = mg\langle z\rangle = mg\cdot\frac{1}{a}\;\frac{1 - e^{-aL}(1 + aL)}{1-e^{-aL}}.
Mas mg\cdot\frac{1}{a}=mg\cdot\frac{1}{mg/(kT)}=kT. Assim simplifica muito:
\boxed{\,\langle U\rangle = kT\;\frac{1 - e^{-aL}(1 + aL)}{1-e^{-aL}},\quad\text{com }a=\dfrac{mg}{kT}\,.}
A energia potencial total do sistema é
\boxed{\,U_{\text{pot, total}}=N\,\langle U\rangle = N kT\;\frac{1 - e^{-mgL/(kT)}\big(1 + \dfrac{mgL}{kT}\big)}{1-e^{-mgL/(kT)}}\,.}

Passo 5

Análise do teorema da equipartição e dos limites de alta e baixa temperatura (parte d), com explicação física.
Primeiro, é útil separar energia cinética e potencial:
  • Para um gás ideal os graus de liberdade cinéticos (momentos) se separam da parte espacial, logo a energia cinética média por partícula é a usual:
\langle K\rangle_{\text{por part}} = \frac{3}{2}kT,
e a energia cinética total é
\langle K\rangle_{\text{total}} = \frac{3}{2}NkT.
Isto é uma consequência direta da integração Gaussiana sobre momentos na partição canônica e é exatamente o que diz o teorema da equipartição para termos quadráticos em momentos: cada grau de liberdade quadrática contribui com \tfrac{1}{2}kT.
Agora, o termo gravitacional mgz não é quadrático em coordenadas (é linear em z), então o teorema da equipartição, na forma "cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}kT", não se aplica ao termo mgz. Em particular a energia potencial média que obtivemos não precisa ser \tfrac{1}{2}kT por partícula — de fato não é, em geral.
Analisemos os dois limites:
  1. Limite de alta temperatura: kT \gg mgL (ou aL\ll1). Expandindo a expressão para \langle U\rangle em série para pequeno aL
\langle U\rangle \approx mg\frac{L}{2} \quad\text{quando }aL\to0,
ou seja \langle z\rangle\approx L/2. Interpretação: o efeito da gravidade é desprezível e as partículas ficam praticamente distribuídas uniformemente no cubo, portanto a energia potencial média por partícula é simplesmente mgL/2 (constante, independente de T neste limite). Isso não corresponde a nenhuma previsão do tipo \tfrac{1}{2}kT — mostra que o termo de potencial linear não obedece ao "meio kT" da equipartição.
  1. Limite de baixa temperatura: kT \ll mgL (ou aL\gg1). Então e^{-aL}\to0 e da expressão obtemos
\langle U\rangle \to kT \quad\text{quando }aL\to\infty.
Isto é, a energia potencial média por partícula tende a kT (ou seja, \langle z\rangle\to kT/(mg), que é a escala térmica de altura). Novamente isso não é \tfrac{1}{2}kT; aqui dá kT. Mais uma vez, o resultado decorre da forma exponencial de Boltzmann combinada com potencial linear — não há obrigação da equipartição de dar \tfrac{1}{2}kT para esse termo.
Conclusão final sobre equipartição (resumindo de forma direta e física):
  • O teorema da equipartição vale para os graus de liberdade que aparecem quadráticamente na energia (momento/velocidade): a energia cinética média por partícula é \tfrac{3}{2}kT.
  • O termo de energia potencial gravitacional mgz não é quadrático; portanto a equipartição, na forma simples de \tfrac{1}{2}kT por grau de liberdade, não se aplica a ele. A energia potencial média por partícula depende da razão mgL/(kT) e assume os comportamentos limites descritos: mgL/2 para kT\gg mgL (distribuição praticamente uniforme) e kT para kT\ll mgL (partículas próximas ao fundo).

Resposta

(a) n(z)=\dfrac{N}{L^2}\dfrac{(mg)/(kT)}{1-e^{-mgL/(kT)}}\;e^{-mgz/(kT)}.\n
(b) p(z)=p(0)\,e^{-mgz/(kT)} com p(0)=\dfrac{N}{L^2}\dfrac{mg}{1-e^{-mgL/(kT)}}; em particular a pressão decai exponencialmente com escala \ell=kT/(mg).\n
(c) Energia potencial média por partícula \displaystyle \langle U\rangle = kT\;\frac{1 - e^{-mgL/(kT)}\big(1 + \dfrac{mgL}{kT}\big)}{1-e^{-mgL/(kT)}}. Energia potencial total \displaystyle U_{\text{pot}}=N\langle U\rangle.\n
(d) A equipartição vale para os graus quadráticos (energia cinética) dando \langle K\rangle_{\text{total}}=\tfrac{3}{2}NkT. O termo mgz não é quadrático, portanto não obedece à regra “ \tfrac{1}{2}kT” por grau de liberdade: em kT\gg mgL tem \langle U\rangle\approx mgL/2 (distribuição quase uniforme) e em kT\ll mgL tem \langle U\rangle\approx kT (partículas concentradas perto do fundo).

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