Considere um gás ideal contido em um recipiente cúbico de lado
, a uma temperatura absoluta
, na presença de um campo gravitacional uniforme de módulo
. (a) Calcule o número médio
de moléculas por unidade de volume a uma altura
. (b) Discuta a variação da pressão com a altura. (c) Calcule a energia potencial média do sistema. (d) Verifique se é satisfeito o teorema da equipartição da energia, analisando os limites de alta e baixa temperatura. Explique.
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal dentro de um recipiente cúbico de lado
, temperatura absoluta
e campo gravitacional uniforme de módulo
(vertical para baixo). As perguntas são:
(a) Calcular o número médio por volume das moléculas à altura
.
(b) Discutir como a pressão varia com .
(c) Calcular a energia potencial média do sistema.
(d) Verificar o teorema da equipartição, analisando limites de alta e baixa temperatura e explicar.
(a) Calcular o número médio por volume
(b) Discutir como a pressão varia com
(c) Calcular a energia potencial média do sistema.
(d) Verificar o teorema da equipartição, analisando limites de alta e baixa temperatura e explicar.
Informações relevantes/assunções necessárias (explicitadas para evitar ambiguidades):
- Cada molécula tem massa
. - O número total de moléculas é
. - A área da base do cubo é
. - Energia potencial gravitacional de uma molécula a altura
é . - Usaremos a distribuição canônica / fator de Boltzmann para a posição: probabilidades proporcionais a
com , onde é a constante de Boltzmann.
Não começo a resolver ainda; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Derivação do perfil de densidade
(parte a), passo a passo e explicando os conceitos usados.
Conceito usado: em equilíbrio térmico no potencial gravitacional, a probabilidade de encontrar uma molécula numa posição
é proporcional ao fator de Boltzmann
. Isso vem da estatística canônica: a densidade espacial (por unidade de volume) varia como
onde
. Aqui, explicaço rápida do porquê: a densidade de probabilidade espacial (ignorando momentos) é dada por
; para gás ideal os estados de posição não interagem, então cada partícula tem essa distribuição.
Agora normalizamos: escrevemos
Para determinar
usamos a condição de número total
. O número total é
Calcule a integral:
Assim
Isolando
:
Substituindo
e
, obtemos a expressão final:
Observação física simples: se o recipiente for muito alto ou a temperatura muito grande de modo que
, então
e a densidade fica praticamente constante
(distribuição homogênea). No contrário (temperatura baixa ou
grande), a densidade decai exponencialmente com
.
Passo 3
Variação da pressão com a altura (parte b), com derivação e conexão com equilíbrio hidrostático.
Usamos a equação do gás ideal local: a pressão local
está relacionada à densidade por
Como já temos
, segue imediatamente que
onde
(Usei
para simplificar.)
Verificação pela fórmula de equilíbrio hidrostático: para um fluido em equilíbrio sob gravidade vale
onde
é a massa por volume. Substituindo
e
obtemos
ou seja, as expressões são consistentes com o equilíbrio mecânico.
Interpretação: a pressão decai exponencialmente para cima com escala de altura térmica
(altura típica na qual a densidade cai por fator
).
Passo 4
Cálculo da energia potencial média do sistema (parte c), com todas as contas detalhadas.
Definição: energia potencial de uma molécula é
. A energia potencial média por partícula é
onde
pois o fator
e a área
cancelam.
Calculemos a integral do numerador. Seja
. Então
Integramos por partes ou usamos a primitiva conhecida. A primitiva é
Avaliando de
a
obtemos
O denominador já tínhamos:
Portanto
Multiplicando por
para obter a energia potencial média por partícula:
Mas
. Assim simplifica muito:
A energia potencial total do sistema é
Passo 5
Análise do teorema da equipartição e dos limites de alta e baixa temperatura (parte d), com explicação física.
Primeiro, é útil separar energia cinética e potencial:
- Para um gás ideal os graus de liberdade cinéticos (momentos) se separam da parte espacial, logo a energia cinética média por partícula é a usual:
e a energia cinética total é
Isto é uma consequência direta da integração Gaussiana sobre momentos na partição canônica e é exatamente o que diz o teorema da equipartição para termos quadráticos em momentos: cada grau de liberdade quadrática contribui com
.
Agora, o termo gravitacional
não é quadrático em coordenadas (é linear em
), então o teorema da equipartição, na forma "cada grau de liberdade contribui com
", não se aplica ao termo
. Em particular a energia potencial média que obtivemos não precisa ser
por partícula — de fato não é, em geral.
Analisemos os dois limites:
- Limite de alta temperatura:
(ou ). Expandindo a expressão para em série para pequeno dá
ou seja
. Interpretação: o efeito da gravidade é desprezível e as partículas ficam praticamente distribuídas uniformemente no cubo, portanto a energia potencial média por partícula é simplesmente
(constante, independente de
neste limite). Isso não corresponde a nenhuma previsão do tipo
— mostra que o termo de potencial linear não obedece ao "meio
" da equipartição.
- Limite de baixa temperatura:
(ou ). Então e da expressão obtemos
Isto é, a energia potencial média por partícula tende a
(ou seja,
, que é a escala térmica de altura). Novamente isso não é
; aqui dá
. Mais uma vez, o resultado decorre da forma exponencial de Boltzmann combinada com potencial linear — não há obrigação da equipartição de dar
para esse termo.
Conclusão final sobre equipartição (resumindo de forma direta e física):
- O teorema da equipartição vale para os graus de liberdade que aparecem quadráticamente na energia (momento/velocidade): a energia cinética média por partícula é
. - O termo de energia potencial gravitacional
não é quadrático; portanto a equipartição, na forma simples de por grau de liberdade, não se aplica a ele. A energia potencial média por partícula depende da razão e assume os comportamentos limites descritos: para (distribuição praticamente uniforme) e para (partículas próximas ao fundo).
Resposta
(a)
\n
(b) com
; em particular a pressão decai exponencialmente com escala
.\n
(c) Energia potencial média por partícula . Energia potencial total
.\n
(d) A equipartição vale para os graus quadráticos (energia cinética) dando . O termo
não é quadrático, portanto não obedece à regra “
” por grau de liberdade: em
tem
(distribuição quase uniforme) e em
tem
(partículas concentradas perto do fundo).
(b)
(c) Energia potencial média por partícula
(d) A equipartição vale para os graus quadráticos (energia cinética) dando